📄 ch10_4.htm
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<HTML>
<HEAD>
<TITLE> 高阶常微分方程式 </TITLE>
</HEAD>
<BODY BACKGROUND="bg0000.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img/bg0000.gif">
<FONT COLOR="#0000FF">
<H1>10.4 高阶常微分方程式</H1>
</FONT>
<HR>
<P>
一个高阶常微分方程式可以利用变数改变<FONT FACE="Times New Roman">(change of variables) </FONT>方式改写成个一组联立的一阶常微分方程式。
例如以下的<FONT FACE="Times New Roman">
<I>n</I> </FONT>阶方程式
<P>
<IMG SRC="img00014-4.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img10/img00014.gif">
<P>
我们先定义<FONT FACE="Times New Roman"> <I>n</I> </FONT>个新的变数来取代上式中的<FONT FACE="Times New Roman">
<IMG SRC="img00015-4.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img10/img00015.gif"></FONT>
<P>
<IMG SRC="img00016-4.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img10/img00016.gif">
<P>
将上述的新变数代入原<FONT FACE="Times New Roman"> ODE</FONT>，连同这些新变数即构成一组联立的一阶常微分方程式
<P>
<IMG SRC="img00017-3.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img10/img00017.gif">
<P>
我们接者以一个二阶<FONT FACE="Times New Roman"> ODE </FONT>为例说明上述的过程
<P>
<IMG SRC="img00018-3.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img10/img00018.gif">
<P>
我们须要定义
<P>
<IMG SRC="img00019-3.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img10/img00019.gif">
<P>
将上述的二变数代入原<FONT FACE="Times New Roman"> ODE</FONT>，即构成一组联立的一阶常微分方程式
<P>
<IMG SRC="img00020-3.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img10/img00020.gif"><BR>
<P>
以下即是上述二阶<FONT FACE="Times New Roman"> ODE </FONT>的解法：
<P>
<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">function u_prime =eqns2(x,u)</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">u_prime(1) = u(1)*(1-u(2)^2)
- u(2);</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">u_prime(2) = u(1);
<BR>
</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">initial = [0 0.25];</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">[x,num_y] = ode23('eqns2',0,20,initial);</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">subplot(2,1,1), plot(x,num_y(:,1))</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">title('1st derivative
of y'), xlabel('x'), grid</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">subplot(2,1,2), plot(x,num_y(:,2))</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">title('y'), xlabel('x'),
grid</FONT><HR>
<A HREF="ch10_3.htm" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/ch10_3.htm"><IMG SRC="lastpage.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img/lastpage.gif" BORDER=0></A>
<A HREF="ch11.htm" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/ch11.htm"><IMG SRC="nextpage-1.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img/nextpage.gif" BORDER=0 HSPACE=10></A>
<A HREF="index.html" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/index.html"><IMG SRC="outline-1.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img/outline.gif" BORDER=0 HSPACE=6></A><BR>
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