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二路合并排序算法

二路合并排序算法，使用分治策略,时间复杂度O(nlog2n),
需要和待排记录等数量的辅助空间，是一种稳定的排序算法

可以运用分而治之方法来解决排序问题，该问题是将n 个元素排成非递减顺序。分而治之方法通常用以下的步骤来进行排序算法：若n 为1，算法终止；否则，将这一元素集合分割成两个或更多个子集合，对每一个子集合分别排序，然后将排好序的子集合归并为一个集合。 

假设仅将n 个元素的集合分成两个子集合。现在需要确定如何进行子集合的划分。一种可能性就是把前面n- 1个元素放到第一个子集中（称为A），最后一个元素放到第二个子集里（称为B）。按照这种方式对A递归地进行排序。由于B仅含一个元素，所以它已经排序完毕，在A排完序后，只需要用程序2 - 1 0中的函数i n s e r t将A和B合并起来。把这种排序算法与I n s e r t i o n S o r t（见程序2 - 1 5）进行比较，可以发现这种排序算法实际上就是插入排序的递归算法。该算法的复杂性为O (n 2 )。把n 个元素划分成两个子集合的另一种方法是将含有最大值的元素放入B，剩下的放入A中。然后A被递归排序。为了合并排序后的A和B，只需要将B添加到A中即可。假如用函数M a x（见程序1 - 3 1）来找出最大元素，这种排序算法实际上就是S e l e c t i o n S o r t（见程序2 - 7）的递归算法。 

假如用冒泡过程（见程序2 - 8）来寻找最大元素并把它移到最右边的位置，这种排序算法就是B u b b l e S o r t（见程序2 - 9）的递归算法。这两种递归排序算法的复杂性均为(n2 )。若一旦发现A已经被排好序就终止对A进行递归分割，则算法的复杂性为O(n2 )（见例2 - 1 6和2 - 1 7）。 

上述分割方案将n 个元素分成两个极不平衡的集合A和B。A有n- 1个元素，而B仅含一个元素。下面来看一看采用平衡分割法会发生什么情况： A集合中含有n/k 个元素，B中包含其余的元素。递归地使用分而治之方法对A和B进行排序。然后采用一个被称之为归并（ m e rg e）的过程，将已排好序的A和B合并成一个集合。 

例2-5 考虑8个元素，值分别为[ 1 0，4，6，3，8，2，5，7 ]。如果选定k = 2，则[ 1 0 , 4 , 6 , 3 ]和[ 8 , 2 , 5 , 7 ]将被分别独立地排序。结果分别为[ 3 , 4 , 6 , 1 0 ]和[ 2 , 5 , 7 , 8 ]。从两个序列的头部开始归并这两个已排序的序列。元素2比3更小，被移到结果序列；3与5进行比较，3被移入结果序列；4与5比较，4被放入结果序列；5和6比较，.。如果选择k= 4，则序列[ 1 0 , 4 ]和[ 6 , 3 , 8 , 2 , 5 , 7 ]将被排序。排序结果分别为[ 4 , 1 0 ]和[ 2 , 3 , 5 , 6 , 7 , 8 ]。当这两个排好序的序列被归并后，即可得所需要的排序序列。 

图2 - 6给出了分而治之排序算法的伪代码。算法中子集合的数目为2，A中含有n/k个元素。 

template 

void sort( T E, int n) 

{ / /对E中的n 个元素进行排序， k为全局变量 

if (n >= k) { 

i = n/k; 

j = n-i; 

令A 包含E中的前i 个元素 

令B 包含E中余下的j 个元素 

s o r t ( A , i ) ; 

s o r t ( B , j ) ; 

m e rge(A,B,E,i,j,); //把A 和B 合并到E 

} 

else 使用插入排序算法对E 进行排序 

} 

图14-6 分而治之排序算法的伪代码 



从对归并过程的简略描述中，可以明显地看出归并n个元素所需要的时间为O (n)。设t (n)为分而治之排序算法（如图1 4 - 6所示）在最坏情况下所需花费的时间，则有以下递推公式： 

其中c 和d 为常数。当n / k≈n-n / k 时，t (n) 的值最小。因此当k= 2时，也就是说，当两个子集合所包含的元素个数近似相等时， t (n) 最小，即当所划分的子集合大小接近时，分而治之算法通常具有最佳性能。 

可以用迭代方法来计算这一递推方式，结果为t(n)= (nl o gn)。虽然这个结果是在n为2的幂时得到的，但对于所有的n，这一结果也是有效的，因为t(n) 是n 的非递减函数。t(n) =(nl o gn) 给出了归并排序的最好和最坏情况下的复杂性。由于最好和最坏情况下的复杂性是一样的，因此归并排序的平均复杂性为t (n)= (nl o gn)。 

图2 - 6中k= 2的排序方法被称为归并排序（ m e rge sort ），或更精确地说是二路归并排序（two-way merge sort）。下面根据图1 4 - 6中k= 2的情况（归并排序）来编写对n 个元素进行排序的C + +函数。一种最简单的方法就是将元素存储在链表中（即作为类c h a i n的成员（程序3 -8））。在这种情况下，通过移到第n/ 2个节点并打断此链，可将E分成两个大致相等的链表。 

归并过程应能将两个已排序的链表归并在一起。如果希望把所得到C + +程序与堆排序和插入排序进行性能比较，那么就不能使用链表来实现归并排序，因为后两种排序方法中都没有使用链表。为了能与前面讨论过的排序函数作比较，归并排序函数必须用一个数组a来存储元素集合E，并在a 中返回排序后的元素序列。为此按照下述过程来对图1 4 - 6的伪代码进行细化：当集合E被化分成两个子集合时，可以不必把两个子集合的元素分别复制到A和B中，只需简单地在集合E中保持两个子集合的左右边界即可。接下来对a 中的初始序列进行排序，并将所得到的排序序列归并到一个新数组b中，最后将它们复制到a 中。图1 4 - 6的改进版见图1 4 - 7。 



template 

M e rgeSort( T a[], int left, int right) 

{ / /对a [ l e f t : r i g h t ]中的元素进行排序 

if (left < right) {//至少两个元素 

int i = (left + right)/2; //中心位置 

M e rgeSort(a, left, i); 

M e rgeSort(a, i+1, right); 

M e rge(a, b, left, i, right); //从a 合并到b 

Copy(b, a, left, right); //结果放回a 

} 

} 

图14-7 分而治之排序算法的改进 



可以从很多方面来改进图1 4 - 7的性能，例如，可以容易地消除递归。如果仔细地检查图1 4 - 7中的程序，就会发现其中的递归只是简单地重复分割元素序列，直到序列的长度变成1为止。当序列的长度变为1时即可进行归并操作，这个过程可以用n 为2的幂来很好地描述。长度为1的序列被归并为长度为2的有序序列；长度为2的序列接着被归并为长度为4的有序序列；这个过程不断地重复直到归并为长度为n 的序列。图1 4 - 8给出n= 8时的归并（和复制）过程，方括号表示一个已排序序列的首和尾。 



初始序列[8] [4] [5] [6] [2] [1] [7] [3] 

归并到b [4 8] [5 6] [1 2] [3 7]