4.27.huaidai.ps

是multiuser detection 这本书的习题解答, 很有用的书.

b(from)e(\(5\))i(and)g(\(6\))g(w)m(e)g(conclude)h(that)f(sgn\()p
Fh(y)34 b Fd(\000)d Fh(f)11 b Fi(\()p Fh(y)t Fi(\)\))43
b(is)i(dorminated)e(b)m(y)j(the)f(sign)g(of)f Fh(y)t
Fi(,)j(and)e(the)-186 1725 y(optim)m(um)31 b(detector)i(is)f(giv)m(en)h
(b)m(y)1183 1957 y(^)1186 1983 y Fh(b)1227 1998 y Fg(1)1295
1983 y Fi(=)28 b(sgn\()p Fh(y)t Fi(\))f(=)g(sgn)q(\()1978
1866 y Fe(Z)2061 1892 y Ff(T)2024 2054 y Fg(0)2132 1983
y Fh(y)t Fi(\()p Fh(t)p Fi(\))p Fh(s)p Fi(\()p Fh(t)p
Fi(\))p Fh(dt)p Fi(\))1247 b(\(7\))-186 2226 y(By)33
b(symmetry)-8 b(,)33 b(w)m(e)g(conclude)g(that)1277 2457
y(^)1280 2484 y Fh(b)1321 2499 y Fg(1)1389 2484 y Fi(=)1489
2457 y(^)1492 2484 y Fh(b)1533 2499 y Fg(2)1601 2484
y Fi(=)27 b(sgn)q(\()1884 2367 y Fe(Z)1967 2393 y Ff(T)1930
2555 y Fg(0)2039 2484 y Fh(y)t Fi(\()p Fh(t)p Fi(\))p
Fh(s)p Fi(\()p Fh(t)p Fi(\))p Fh(dt)p Fi(\))1340 b(\(8\))-186
2727 y(It)38 b(is)f(essen)m(tially)g(the)h(result)f(of)g(the)h(con)m(v)
m(en)m(tional)g(matc)m(hed)g(\014lter)f(output)h(and)f(the)h(error)g
(probabilit)m(y)d(is)-186 2847 y(giv)m(en)e(in)f(section)g(3.4)g(as)
1419 3010 y Fh(P)1482 3025 y Ff(k)1524 3010 y Fi(\()p
Fh(\033)t Fi(\))c(=)1800 2943 y(1)p 1800 2987 49 4 v
1800 3079 a(4)1881 3010 y(+)1989 2943 y(1)p 1989 2987
V 1989 3079 a(2)2048 3010 y Fh(Q)p Fi(\()2173 2943 y(2)p
Fh(A)p 2173 2987 122 4 v 2205 3079 a(\033)2305 3010 y
Fi(\))1480 b(\(9\))-186 3293 y(The)49 b(reason)f(wh)m(y)h(con)m(v)m(en)
m(tional)f(matc)m(hed)g(\014lter)g(b)s(ecomes)g(optimal)d(in)i(this)h
(case)g(is:)74 b(with)47 b(the)i(giv)m(en)-186 3414 y(condition,)44
b(this)e(t)m(w)m(o-user)h(system)g(encoun)m(ters)i(error)d(ev)m(en)i
(in)e(the)h(h)m(yp)s(othetical)e(scenario)i(of)e(complete)-186
3534 y(absence)g(of)e(bac)m(kground)h(noise.)64 b(Actually)38
b(ev)m(en)j(without)e(noise,)i(w)m(e)f(do)f(not)g(kno)m(w)i(whether)f
(\(1)p Fh(;)17 b Fd(\000)p Fi(1\))39 b(or)-186 3655 y(\()p
Fd(\000)p Fi(1)p Fh(;)17 b Fi(1\))31 b(has)h(b)s(een)h(sen)m(t)g(when)g
(the)f(receiv)m(ed)h(w)m(a)m(v)m(eform)f(is)g(n)m(ull.)42
b(When)32 b(this)g(happ)s(ens,)h(w)m(e)g(simply)d(abadon)-186
3775 y(detection)g(and)h(mak)m(e)f(a)g(guess;)i(and)f(sgn\()p
Fh(y)t Fi(\))e(has)i(the)g(same)f(e\013ect)h(as)f(tossing)g(a)g(coin)g
(with)g(the)g(assumption)-186 3895 y(of)36 b(zero-mean)g(Gaussian)g
(noise.)56 b(If)37 b(\(1)p Fh(;)17 b Fi(1\))35 b(or)i(\()p
Fd(\000)p Fi(1)p Fh(;)17 b Fd(\000)p Fi(1\))36 b(has)h(b)s(een)h(sen)m
(t,)h(the)e(decision)f(statistic)g Fh(y)j Fi(will)c(b)s(e)-186
4016 y(cen)m(tered)e(around)f(2)p Fh(A)f Fi(or)h Fd(\000)p
Fi(2)p Fh(A)f Fi(with)h(Gaussian)f(distribution,)f(and)h(the)h(zero)g
(threshold)g(giv)m(es)g(the)g(optimal)-186 4136 y(decision)g(with)g
(resp)s(ect)i(to)e(b)s(oth)h Fh(b)1130 4151 y Fg(1)1202
4136 y Fi(and)g Fh(b)1433 4151 y Fg(2)1473 4136 y Fi(.)-186
4342 y(\(b\))-186 4548 y(As)g(in)f(section)h(4.1,)f(the)h(maxim)m
(um-lik)m(eliho)s(o)s(d)27 b(detector)33 b(c)m(ho)s(ose)g(\()2372
4522 y(^)2376 4548 y Fh(b)2417 4563 y Fg(1)2457 4548
y Fh(;)2497 4522 y Fi(^)2501 4548 y Fh(b)2542 4563 y
Fg(2)2582 4548 y Fi(\))f(to)g(maximize)1000 4763 y(\012)1070
4778 y Fg(2)1110 4763 y Fi(\()p Fh(b)1189 4778 y Fg(1)1228
4763 y Fh(;)17 b(b)1313 4778 y Fg(2)1353 4763 y Fi(\))28
b(=)f Fh(b)1563 4778 y Fg(1)1603 4763 y Fh(A)1676 4778
y Fg(1)1716 4763 y Fh(y)1764 4778 y Fg(1)1825 4763 y
Fi(+)22 b Fh(b)1964 4778 y Fg(2)2004 4763 y Fh(A)2077
4778 y Fg(2)2116 4763 y Fh(y)2164 4778 y Fg(2)2225 4763
y Fd(\000)h Fh(b)2366 4778 y Fg(1)2406 4763 y Fh(b)2447
4778 y Fg(2)2487 4763 y Fh(A)2560 4778 y Fg(1)2599 4763
y Fh(A)2672 4778 y Fg(2)2712 4763 y Fh(\032)1012 b Fi(\(10\))-186
4977 y(In)33 b(this)f(problem)f(it)h(can)h(b)s(e)g(simpli\014ed)d(as)
1156 5191 y(\012)1226 5206 y Fg(2)1266 5191 y Fi(\()p
Fh(b)1345 5206 y Fg(1)1385 5191 y Fh(;)17 b(b)1470 5206
y Fg(2)1510 5191 y Fi(\))27 b(=)h Fh(Ay)t(b)1845 5206
y Fg(1)1906 5191 y Fi(+)22 b Fh(Ay)t(b)2170 5206 y Fg(2)2231
5191 y Fd(\000)h Fh(A)2404 5150 y Fg(2)2444 5191 y Fh(b)2485
5206 y Fg(1)2525 5191 y Fh(b)2566 5206 y Fg(2)3774 5191
y Fi(\(11\))-186 5406 y(The)34 b(optim)m(um)c(decisions)j(are)f(suc)m
(h)i(that)1857 5655 y(2)p eop
3 2 bop -186 167 a Fi(if)31 b Fd(j)p Fh(y)t Fd(j)c(\025)h
Fh(A)p Fi(,)k(then)1531 261 y(^)1535 287 y Fh(b)1576
302 y Fg(1)1643 287 y Fi(=)1743 261 y(^)1747 287 y Fh(b)1788
302 y Fg(1)1855 287 y Fi(=)c(sgn\()p Fh(y)t Fi(\))-186
458 y(Otherwise)1411 552 y(^)1415 578 y Fh(b)1456 593
y Fg(1)1523 578 y Fi(=)g Fd(\000)1700 552 y Fi(^)1704
578 y Fh(b)1745 593 y Fg(2)1813 578 y Fi(=)f Fh(ar)s(bitr)s(ar)s(y)t(:)
-186 834 y Fi(Supp)s(ose)38 b(\(1)p Fh(;)17 b Fi(1\))37
b(is)f(sen)m(t,)k(the)e(receiv)m(ed)g(decision)f(statistic)f
Fh(y)41 b Fi(is)c(distributed)f(as)i Fh(n)p Fi(\(2)p
Fh(A;)17 b(\033)3235 798 y Fg(2)3274 834 y Fi(\).)58
b(W)-8 b(e)37 b(\014nd)h(that)-190 928 y(^)-186 955 y
Fh(b)-145 970 y Fg(1)-77 955 y Fi(=)27 b Fd(\000)p Fi(1)33
b(with)f(probabilit)m(y)f(1)p Fh(=)p Fi(2)h(if)f Fd(j)p
Fh(y)t Fd(j)26 b(\024)i Fh(A)p Fi(,)33 b(and)g(if)e Fh(y)g(<)c
Fd(\000)p Fh(A)p Fi(.)45 b(So)166 1215 y Fh(P)243 1174
y Ff(m)229 1239 y Fg(1)309 1215 y Fi([)p Fh(e)p Fd(j)p
Fh(b)450 1230 y Fg(1)517 1215 y Fi(=)28 b(1)p Fh(;)17
b(b)755 1230 y Fg(2)822 1215 y Fi(=)27 b(1])83 b(=)1253
1147 y(1)p 1253 1191 49 4 v 1253 1283 a(2)1328 1098 y
Fe(Z)1411 1124 y Ff(A)1375 1286 y Fb(\000)p Ff(A)1503
1215 y Fh(f)11 b Fi(\()p Fh(y)t Fd(j)p Fh(b)1721 1230
y Fg(1)1787 1215 y Fi(=)28 b(1)p Fh(;)17 b(b)2025 1230
y Fg(2)2092 1215 y Fi(=)27 b(1\))p Fh(dy)e Fi(+)2504
1098 y Fe(Z)2587 1124 y Fb(\000)p Ff(A)2550 1286 y Fb(\0001)2715
1215 y Fh(f)11 b Fi(\()p Fh(y)t Fd(j)p Fh(b)2933 1230
y Fg(1)3000 1215 y Fi(=)27 b(1)p Fh(;)17 b(b)3237 1230
y Fg(2)3304 1215 y Fi(=)28 b(1\))p Fh(dy)1084 1462 y
Fi(=)1253 1394 y(1)p 1253 1439 V 1253 1530 a(2)1312 1462
y(\()p Fh(Q)p Fi(\()1475 1394 y Fd(\000)p Fh(A)23 b Fd(\000)f
Fi(2)p Fh(A)p 1475 1439 395 4 v 1643 1530 a(\033)1879
1462 y Fi(\))g Fd(\000)h Fh(Q)p Fi(\()2164 1394 y Fh(A)f
Fd(\000)h Fi(2)p Fh(A)p 2164 1439 317 4 v 2293 1530 a(\033)2491
1462 y Fi(\)\))f(+)g(\(1)g Fd(\000)g Fh(Q)p Fi(\()3020
1394 y Fd(\000)p Fh(A)h Fd(\000)g Fi(2)p Fh(A)p 3020
1439 395 4 v 3188 1530 a(\033)3425 1462 y Fi(\)\))1084
1699 y(=)1253 1631 y(1)p 1253 1676 49 4 v 1253 1767 a(2)1312
1699 y(\()p Fh(Q)p Fi(\()1475 1631 y Fh(A)p 1475 1676
74 4 v 1482 1767 a(\033)1558 1699 y Fi(\))f Fd(\000)h
Fh(Q)p Fi(\()1843 1631 y(3)p Fh(A)p 1843 1676 122 4 v
1874 1767 a(\033)1975 1699 y Fi(\)\))f(+)g Fh(Q)p Fi(\()2296
1631 y(3)p Fh(A)p 2296 1676 V 2327 1767 a(\033)2428 1699
y Fi(\))1084 1936 y(=)1253 1868 y(1)p 1253 1913 49 4
v 1253 2004 a(2)1312 1936 y(\()p Fh(Q)p Fi(\()1475 1868
y Fh(A)p 1475 1913 74 4 v 1482 2004 a(\033)1558 1936
y Fi(\))g(+)g Fh(Q)p Fi(\()1841 1868 y(3)p Fh(A)p 1841
1913 122 4 v 1873 2004 a(\033)1973 1936 y Fi(\)\))1725
b(\(12\))-186 2172 y(Similarly)-8 b(,)-48 2427 y Fh(P)29
2386 y Ff(m)15 2451 y Fg(1)95 2427 y Fi([)p Fh(e)p Fd(j)p
Fh(b)236 2442 y Fg(1)303 2427 y Fi(=)28 b Fd(\000)p Fi(1)p
Fh(;)17 b(b)618 2442 y Fg(2)685 2427 y Fi(=)28 b Fd(\000)p
Fi(1])83 b(=)1194 2359 y(1)p 1194 2404 49 4 v 1194 2495
a(2)1270 2310 y Fe(Z)1353 2336 y Ff(A)1316 2498 y Fb(\000)p
Ff(A)1444 2427 y Fh(f)11 b Fi(\()p Fh(y)t Fd(j)p Fh(b)1662
2442 y Fg(1)1728 2427 y Fi(=)28 b Fd(\000)p Fi(1)p Fh(;)17
b(b)2043 2442 y Fg(2)2110 2427 y Fi(=)28 b Fd(\000)p
Fi(1\))p Fh(dy)d Fi(+)2600 2310 y Fe(Z)2683 2336 y Fb(1)2646
2498 y Ff(A)2774 2427 y Fh(f)11 b Fi(\()p Fh(y)t Fd(j)p
Fh(b)2992 2442 y Fg(1)3058 2427 y Fi(=)28 b Fd(\000)p
Fi(1)p Fh(;)17 b(b)3373 2442 y Fg(2)3441 2427 y Fi(=)27
b Fd(\000)p Fi(1\))p Fh(dy)1025 2674 y Fi(=)1194 2607
y(1)p 1194 2651 V 1194 2742 a(2)1253 2674 y(\()p Fh(Q)p
Fi(\()1416 2607 y Fd(\000)p Fh(A)c Fi(+)f(2)p Fh(A)p
1416 2651 393 4 v 1583 2742 a(\033)1819 2674 y Fi(\))g
Fd(\000)g Fh(Q)p Fi(\()2103 2607 y Fh(A)h Fi(+)f(2)p
Fh(A)p 2103 2651 316 4 v 2232 2742 a(\033)2429 2674 y
Fi(\)\))g(+)g Fh(Q)p Fi(\()2750 2607 y Fh(A)g Fi(+)g(2)p
Fh(A)p 2750 2651 V 2878 2742 a(\033)3075 2674 y Fi(\))1025
2911 y(=)1194 2844 y(1)p 1194 2888 49 4 v 1194 2979 a(2)1253
2911 y(\()p Fh(Q)p Fi(\()1416 2844 y Fh(A)p 1416 2888
74 4 v 1423 2979 a(\033)1499 2911 y Fi(\))g Fd(\000)h
Fh(Q)p Fi(\()1784 2844 y(3)p Fh(A)p 1784 2888 122 4 v
1815 2979 a(\033)1916 2911 y Fi(\)\))f(+)g Fh(Q)p Fi(\()2237
2844 y(3)p Fh(A)p 2237 2888 V 2268 2979 a(\033)2369 2911
y Fi(\))1025 3148 y(=)1194 3081 y(1)p 1194 3125 49 4
v 1194 3216 a(2)1253 3148 y(\()p Fh(Q)p Fi(\()1416 3081
y Fh(A)p 1416 3125 74 4 v 1423 3216 a(\033)1499 3148
y Fi(\))g(+)g Fh(Q)p Fi(\()1782 3081 y(3)p Fh(A)p 1782
3125 122 4 v 1814 3216 a(\033)1914 3148 y Fi(\)\))1784
b(\(13\))49 3542 y Fh(P)126 3501 y Ff(m)112 3567 y Fg(1)192
3542 y Fi([)p Fh(e)p Fd(j)p Fh(b)333 3557 y Fg(1)401
3542 y Fi(=)28 b(1)p Fh(;)17 b(b)639 3557 y Fg(2)706
3542 y Fi(=)27 b Fd(\000)p Fi(1])83 b(=)1214 3475 y(1)p
1214 3519 49 4 v 1214 3610 a(2)1290 3425 y Fe(Z)1373
3451 y Ff(A)1336 3614 y Fb(\000)p Ff(A)1464 3542 y Fh(f)11
b Fi(\()p Fh(y)t Fd(j)p Fh(b)1682 3557 y Fg(1)1748 3542
y Fi(=)28 b(1)p Fh(;)17 b(b)1986 3557 y Fg(2)2053 3542
y Fi(=)28 b Fd(\000)p Fi(1\))p Fh(dy)d Fi(+)2543 3425
y Fe(Z)2626 3451 y Fb(\000)p Ff(A)2589 3614 y Fb(\0001)2754
3542 y Fh(f)11 b Fi(\()p Fh(y)t Fd(j)p Fh(b)2972 3557
y Fg(1)3038 3542 y Fi(=)28 b(1)p Fh(;)17 b(b)3276 3557
y Fg(2)3343 3542 y Fi(=)27 b Fd(\000)p Fi(1\))p Fh(dy)1045
3789 y Fi(=)1214 3722 y(1)p 1214 3766 V 1214 3857 a(2)1273
3789 y(\()p Fh(Q)p Fi(\()1436 3722 y Fd(\000)p Fh(A)p
1436 3766 151 4 v 1482 3857 a(\033)1597 3789 y Fi(\))22
b Fd(\000)g Fh(Q)p Fi(\()1881 3722 y Fh(A)p 1881 3766
74 4 v 1888 3857 a(\033)1965 3789 y Fi(\)\))g(+)g(\(1)g
Fd(\000)g Fh(Q)p Fi(\()2494 3722 y Fd(\000)p Fh(A)p 2494
3766 151 4 v 2540 3857 a(\033)2655 3789 y Fi(\)\))1045
4026 y(=)1214 3959 y(1)p 1214 4003 49 4 v 1214 4094 a(2)1273
4026 y(\(1)g Fd(\000)h Fi(2)p Fh(Q)p Fi(\()1656 3959
y Fh(A)p 1656 4003 74 4 v 1663 4094 a(\033)1739 4026
y Fi(\)\))f(+)g Fh(Q)p Fi(\()2060 3959 y Fh(A)p 2060
4003 V 2067 4094 a(\033)2143 4026 y Fi(\))1045 4259 y(=)1214
4192 y(1)p 1214 4236 49 4 v 1214 4328 a(2)3774 4259 y(\(14\))68
4653 y Fh(P)145 4612 y Ff(m)131 4678 y Fg(1)211 4653
y Fi([)p Fh(e)p Fd(j)p Fh(b)352 4668 y Fg(1)420 4653
y Fi(=)27 b Fd(\000)p Fi(1)p Fh(;)17 b(b)734 4668 y Fg(2)802
4653 y Fi(=)27 b(1])83 b(=)1233 4586 y(1)p 1233 4630
V 1233 4722 a(2)1308 4536 y Fe(Z)1391 4563 y Ff(A)1354
4725 y Fb(\000)p Ff(A)1483 4653 y Fh(f)11 b Fi(\()p Fh(y)t
Fd(j)p Fh(b)1701 4668 y Fg(1)1767 4653 y Fi(=)28 b Fd(\000)p
Fi(1)p Fh(;)17 b(b)2082 4668 y Fg(2)2149 4653 y Fi(=)28
b(1\))p Fh(dy)c Fi(+)2561 4536 y Fe(Z)2644 4563 y Fb(1)2607
4725 y Ff(A)2736 4653 y Fh(f)11 b Fi(\()p Fh(y)t Fd(j)p
Fh(b)2954 4668 y Fg(1)3020 4653 y Fi(=)27 b Fd(\000)p
Fi(1)p Fh(;)17 b(b)3334 4668 y Fg(2)3402 4653 y Fi(=)27
b(1\))p Fh(dy)1064 4900 y Fi(=)1233 4833 y(1)p 1233 4877
V 1233 4969 a(2)1292 4900 y(\()p Fh(Q)p Fi(\()1455 4833
y Fd(\000)p Fh(A)p 1455 4877 151 4 v 1501 4969 a(\033)1615
4900 y Fi(\))22 b Fd(\000)h Fh(Q)p Fi(\()1900 4833 y
Fh(A)p 1900 4877 74 4 v 1907 4969 a(\033)1983 4900 y
Fi(\)\))f(+)g Fh(Q)p Fi(\()2304 4833 y Fh(A)p 2304 4877
V 2311 4969 a(\033)2388 4900 y Fi(\))1064 5137 y(=)1233
5070 y(1)p 1233 5114 49 4 v 1233 5206 a(2)1292 5137 y(\(1)g
Fd(\000)g Fi(2)p Fh(Q)p Fi(\()1674 5070 y Fh(A)p 1674
5114 74 4 v 1681 5206 a(\033)1757 5137 y Fi(\)\))g(+)g
Fh(Q)p Fi(\()2078 5070 y Fh(A)p 2078 5114 V 2085 5206
a(\033)2161 5137 y Fi(\))1064 5371 y(=)1233 5303 y(1)p
1233 5347 49 4 v 1233 5439 a(2)3774 5371 y(\(15\))1857
5655 y(3)p eop
4 3 bop -186 167 a Fi(So)-186 406 y Fh(P)-109 365 y Ff(m)-123
431 y Fg(1)-43 406 y Fi(\()p Fh(\033)t Fi(\))83 b(=)344
339 y(1)p 344 383 49 4 v 344 475 a(4)403 406 y(\()p Fh(P)518
365 y Ff(m)504 431 y Fg(1)583 406 y Fi([)p Fh(e)p Fd(j)p
Fh(b)724 421 y Fg(1)792 406 y Fi(=)28 b(1)p Fh(;)17 b(b)1030
421 y Fg(2)1097 406 y Fi(=)27 b(1])22 b(+)g Fh(P)1473
365 y Ff(m)1459 431 y Fg(1)1539 406 y Fi([)p Fh(e)p Fd(j)p
Fh(b)1680 421 y Fg(1)1748 406 y Fi(=)27 b Fd(\000)p Fi(1)p
Fh(;)17 b(b)2062 421 y Fg(2)2130 406 y Fi(=)27 b Fd(\000)p
Fi(1])c(+)f Fh(P)2584 365 y Ff(m)2570 431 y Fg(1)2650
406 y Fi([)p Fh(e)p Fd(j)p Fh(b)2791 421 y Fg(1)2858
406 y Fi(=)28 b(1)p Fh(;)17 b(b)3096 421 y Fg(2)3163
406 y Fi(=)28 b Fd(\000)p Fi(1])22 b(+)g Fh(P)3617 365
y Ff(m)3603 431 y Fg(1)3683 406 y Fi([)p Fh(e)p Fd(j)p
Fh(b)3824 421 y Fg(1)3892 406 y Fi(=)27 b Fd(\000)p Fi(1)p
Fh(;)17 b(b)4206 421 y Fg(2)4274 406 y Fi(=)27 b(1]\))175
643 y(=)344 576 y(1)p 344 620 V 344 712 a(4)425 643 y(+)533
576 y(1)p 533 620 V 533 712 a(4)591 643 y Fh(Q)p Fi(\()716
576 y Fh(A)p 716 620 74 4 v 723 712 a(\033)800 643 y
Fi(\))22 b(+)968 576 y(1)p 968 620 49 4 v 968 712 a(4)1026
643 y Fh(Q)p Fi(\()1151 576 y(3)p Fh(A)p 1151 620 122
4 v 1183 712 a(\033)1283 643 y Fi(\))2997 b(\(16\))-186
974 y(By)33 b(symmetry)-8 b(,)1537 1094 y Fh(P)1614 1053
y Ff(m)1600 1119 y Fg(2)1680 1094 y Fi(\()p Fh(\033)t
Fi(\))28 b(=)g Fh(P)2024 1053 y Ff(m)2010 1119 y Fg(1)2090
1094 y Fi(\()p Fh(\033)t Fi(\))1857 5655 y(4)p eop end
userdict /end-hook known{end-hook}if