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📁 MATLAB真正强有力的地方在于它的数值处理能力。然而
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<html>
<head>
<title>学用MatLab</title>
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<!--
body {  font-family: "宋体"; font-size: 9pt; text-decoration: none}
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-->
</style>
</head>

<body bgcolor="#CCFFCC" text="#666600" link="#009900" alink="#00FF00" vlink="#006600">
<h1 align="center">矩阵和线性代数</h1>
<h2>MatLab中的矩阵</h2>
<p>MatLab中有好多函数可以产生不同的矩阵,下面就让我们产生两个3*3的矩阵,这一章中,我们的学习就靠她们了!!!</p>
<p class="code">A = pascal(3) <br>
  A = <br>
  　　 1 1 1 <br>
  　　 1 2 3 <br>
  　　 1 3 6 <br>
  B = magic(3) <br>
  B = <br>
  　　 8 1 6 <br>
  　　 3 5 7 <br>
  　　 4 9 2 </p>
<p>还有一个3*2的随机矩阵:</p>
<p class="code">C = fix(10*rand(3,2)) <br>
  C = <br>
  　　 9 4 <br>
  　　 2 8 <br>
  　　 6 7</p>
<h3>看看列矩阵，行矩阵，以及常数的表达：</h3>
<p class="code">u = [3; 1; 4] <br>
  v = [2 0 —1] <br>
  s = 7</p>
<p>产生的矩阵是：</p>
<p class="code">u = <br>
  　　 3 <br>
  　　 1 <br>
  　　 4 <br>
  v = <br>
  　　 2 　0 　—1 <br>
  s = <br>
  　　 7</p>
<h3>加减法</h3>
<p class="code">X = A + B <br>
  X = <br>
  　　 9 2 7 <br>
  　　 4 7 10 <br>
  　　 5 12 8 <br>
  Y = X –A <br>
  Y = <br>
  　　 8 1 6 <br>
  　　 3 5 7 <br>
  　　 4 9 2 </p>
<p>若二矩阵维数不统一，则会出错！</p>
<p class="code">X = A + C <br>
  <br>
  Error using ==> + <br>
  Matrix dimensions must agree.</p>
<p>向量的乘积与转置</p>
<p class="code">x = v*u <br>
  x = <br>
  　　 2 <br>
  X = u*v <br>
  X = <br>
  　　 6 0 —3 <br>
  　　 2 0 —1 <br>
  　　 8 0 —4 <br>
  X = B' <br>
  X = <br>
  　　 8 3 4 <br>
  　　 1 5 9 <br>
  　　 6 7 2 </p>
<p>如ｘ与ｙ均是列向量，则x*y无解,但下二表达式却可以:</p>
<p class="code">x'*y<br>
  y'*x</p>
<p>称<span class="explain">内积</span>或<span class="explain">点积</span>.</p>
<p>下面的语句产生<span class="explain">单位矩阵</span> </p>
<p class="code">eye(m,n)</p>
<p>若用eye(n)则产生n*n的方阵</p>
<h2>解线性方程</h2>
<p>情况一:</p>
<p class="code">x = A\u <br>
  x = <br>
  　　10 <br>
  　　 —12 <br>
  　　 5</p>
<p>又如：</p>
<p class="code">X = A\B <br>
  X = <br>
  　　 19 –3 —1 <br>
  　　 —17 4　 13 <br>
  　　 　6 　0 —6</p>
<p>情况二；y是不同时刻t时的观测值:</p>
<p class="code">t = [0 .3 .8 1.1 1.6 2.3]'; <br>
  y = [.82 .72 .63 .60 .55 .50]';</p>
<p>若函数形式是:y(t)=c1+c2*exp(t);<br>
  构造矩阵:</p>
<p class="code">E = [ones(size(t)) exp(–t)] <br>
  E = <br>
  　　 1.0000 1.0000 <br>
  　　 1.0000 0.7408 <br>
  　　 1.0000 0.4493 　　<br>
  　　 1.0000 0.3329 <br>
  　　 1.0000 0.2019 　　<br>
  　　 1.0000 0.1003 </p>
<p>则可求得系数c1及c2</p>
<p class="code">c = E\y <br>
  c = <br>
  　　0.4760 0.3413</p>
<p>表明：y(t)=0.4760+0.3413*exp(t)<br>
  画图如下:</p>
<p class="code">T = (0:0.1:2.5)'; <br>
  Y = [ones(size(T)) exp(–T)]*c; <br>
  plot(T,Y,'–',t,y,'o') </p>
<p><img src="image/algebra1.jpg" width="538" height="407"></p>
<h2>转置与行列式</h2>
<p>若A是方阵,且是非奇异的,则:</p>
<p class="code">d = det(A) <br>
X = inv(A) <br>
d = <br>
　　1 <br>
X = <br>
　　 3 　—3 　1 <br>
　　 —3 　5 　—2 <br>
　　 1 　—2 　1 </p> 
<p>若c不是方阵,则用pinv:</p>
<p class="code">X = pinv(C) <br>
  X = <br>
  　　 0.1159 　—0.0729 　0.0171 <br>
  　　 —0.0534 　0.1152 　0.0418</p>
<p>那么我们可以发现，下面３个命令具有同样的功效（Ａ是ｍ*ｎ的矩阵，ｍ＞ｎ）：</p>
<p>x = A\b <br>
  x = pinv(A)*b <br>
  x = inv(A’*A)*A’*b</p>
<h2>LU.RQ.及Cholesky分解</h2>
<p>MatLab求解线性方程建立在以下三个分解之上:<br>
  Cholesky分解<br>
  Guass(高斯)分解<br>
  正交分解</p>
<h3>Cholesky分解</h3>
<p class="explain">A=p*p'</p>
<p>让我们临时把A变一变:</p>
<p class="code">A = pascal(6) <br>
  A = <br>
  　　 1 　1 　1 　1 　1　　1 <br>
  　　 1 　2　 3 　4 　5　　6 <br>
  　　 1 　3 　6 　10　15 　21 <br>
  　　 1 　4 　10　20　35 　56 <br>
  　　 1 　5 　15　35　70 　126 <br>
  　　 1 　6 　21　56　126　252 </p>
<p>A是二项式系数,每一项是其左方与上方系数之和,求其Cholesky分解系数有:</p>
<p class="code">R = chol(A) <br>
  R = <br>
  　　1 1 1 1 1 1 <br>
  　　0 1 2 3 4 5 <br>
  　　0 0 1 3 6 10 <br>
  　　0 0 0 1 4 10 <br>
  　　0 0 0 0 1 5 <br>
  　　0 0 0 0 0 1</p>
<p>Ｒ认识二项式系数．<br>
  这样对于线性方程便可化简：<br>
  A*x = b<br>
  R'*R*x = b<br>
  　　x = R\(R'\b) <br>
  复杂度由O(n^3)变为O(n^2);</p>
<h3>LU分解 </h3>
<p class="explain">A = L U</p>
<p>其中,L时下三角阵,U是上三角阵,如:</p>
<p class="code">[L,U] = lu(B) <br>
  L = <br>
  　　1.0000 0　　　　0 <br>
  　　0.3750 0.5441 　1.0000 <br>
  　　0.5000 1.0000 　0 <br>
  U = <br>
  　　8.0000　1.0000　6.0000 <br>
  　　0 　　　8.5000　—1.0000 <br>
  　　0 　　　0 　　　5.2941</p>
<p>同样：</p>
<p>A*x = b可以解为<br>
  x = U\(L\b)</p>
<h3>QR分解 </h3>
<p>正交阵有如下性质:</p>
<p>Q'Q = I</p>
<p>正交阵的好处在于,她保持了原阵的长度,角度,并且在计算的过程中不会扩大误差.</p>
<p>RQ分解如下:</p>
<p><span class="explain">A = Q R</span> 　　　或　　　　　　<span class="explain">A P = 
  Q R</span></p>
<p>其中,Q是正交阵,R是上三角阵.</p>
<h2>矩阵的幂与指数</h2>
<p>若A是方阵,p是正数,则</p>
<p class="code">X = A^2 <br>
  X = <br>
  　　3 6 10 <br>
  　　6 14 25 <br>
  　　10 25 46</p>
<p>若Ａ是方阵，且是非奇异的，则X=A^(-P)将inv(A) P次方,如:</p>
<p class="code">Y = B^(–3) <br>
  Y = <br>
  　　0.0053 　—0.0068 0.0018 <br>
  　　—0.0034 0.0001 　0.0036 <br>
  　　—0.0016 0.0070 　—0.0051</p>
<p>分数词幂将由Ａ的特征值决定．</p>
<p>若是对矩阵的每个元素进行幂，用<span class="explain">.^</span>,如</p>
<p class="code">X = A.^2 <br>
  A = <br>
  　　1 1 1 <br>
  　　1 4 9 <br>
  　　1 9 36</p>
<p><span class="explain">sqrtm(A)</span>计算A^(1/2)，但要更精确，而<br>
  <span class="explain">sqrt(A)</span>则计算A.^(1/2),是一个元素一个元素的算．</p>
<p>dx/dt=Ax,可以表示为<span class="explain">x(t)=exp(tA)*x(0)</span>;<br>
  下面来看看如何计算:--expm(A) </p>
<p class="code">A = <br>
  　　0 —6　 —1 <br>
  　　6 　2 　—16 <br>
  　　—5 20　—10<br>
  x0 = <br>
  　　 1 <br>
  　　 1 <br>
  　　 1</p>
<p>计算如下：</p>
<p class="code">X = []; <br>
  for t = 0:.01:1 <br>
  　　X = [X expm(t*A)*x0]; <br>
  end</p>
<p>作图有：</p>
<p class="code">plot3(X(1,:),X(2,:),X(3,:),'–o')</p>
<p><img src="image/algebra2.jpg" width="582" height="330"></p>
<h2>特征值</h2>
<p class="explain">Av=λv</p>
<p>若L是特阵值矩阵,则特征向量是V:　　</p>
<p>AV=VL;</p>
<p>如下:</p>
<p class="code">A = <br>
  　　 0 —6　 —1 <br>
  　　 6 　2　 —16<br>
  　　 —5 20　—10 <br>
  lambda = eig(A)<br>
  lambda = <br>
  　　—3.0710 <br>
  　　—2.4645+17.6008i <br>
  　　—2.4645-17.6008i </p>
<p>由exp(λt)可以看出exp(At)(见上小节)</p>
<p>若用二参数调用函数eig(),则返回特征向量及特征值矩阵:</p>
<p class="code">[V,D] = eig(A) <br>
  V = <br>
  　　—0.8326 　—0.1203+ 0.2123i 　—0.1203– 0.2123i <br>
  　　—0.3553 　0.4691+ 0.4901i 　　0.4691– 0.4901i <br>
  　　—0.4248 　0.6249– 0.2997i　　0.6249+ 0.2997i <br>
  D = <br>
  　　—3.0710 　　0 　　　　　　　　0 <br>
  　　0 　　　　　—2.4645+17.6008i　0 <br>
  　　0 　　　　　　0 　　　　　　　—2.4645—17.6008i</p>
<p>对于下面的矩阵：</p>
<p class="code">A = <br>
  　　6 　　12 　　19 <br>
  　　—9 —20　 —33 <br>
  　　4 　　9　　　15 <br>
  V = <br>
  　　0.4741 　0.4082　 —0.4082 <br>
  　　—0.8127 —0.8165 0.8165 <br>
  　　0.3386 　0.4082 　—0.4082 <br>
  D = <br>
  　　—1.0000 　0　　 　0 <br>
  　　　0 　　　1.0000 　0 <br>
  　　　0　　　 0　　　　1.0000</p>
<p>可以看出，有二特征值是一样的，其特征向量仅差一个符号，在Symbolic Math Toolbox中提供了Jordan标准型的函数,如下:</p>
<p class="code">[X,J] = jordan(A) <br>
  X = <br>
  　　—1.7500 1.5000　 2.7500 <br>
  　　3.0000 　—3.0000 —3.0000 <br>
  　　—1.2500 1.5000 　1.2500 <br>
  J = <br>
  　　—1 0 0 <br>
  　　　0 1 1 <br>
  　　　0 0 1</p>
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</body>
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