4-8.htm
来自「浙江大学计算机学院计算机组成教材《计算机组成与设计》（潘学增）的课堂教学课件。」· HTM 代码 · 共 650 行 · 第 1/4 页
HTM
650 行
<html>
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<title>Floating Point 浮点运算</title>
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<body background="../images/arctile.jpg" bgcolor="#FFFFFF" text="#000000" link="#3399FF" vlink="#666666" alink="#FF9900">
<h3 align="center"><font color="#000000"> <font size="6">4.8 Floating Point 浮点运算</font></font></h3>
<p align="right"><font color="#000000"><a href="chapter4.htm"><img border="0" src="images/BACK.GIF" width="60" height="45" align="left"></a>
<a href="4-7.htm"><img border="0" src="images/PREV.GIF" width="60" height="45"></a>
<a href="../chapter5/index.htm"><img border="0" src="images/FORW.GIF" width="60" height="45"></a></font></p>
<p align="left"><font color="#000000" size="4"><img border="0" src="images/SUB.GIF" width="26" height="27"><a href="#浮点数在机器中的表示形式">浮点数在机器中的表示形式</a><br>
<img border="0" src="images/SUB.GIF" width="26" height="27"><a href="#浮点数的加法">浮点数的加法</a><br>
<img border="0" src="images/SUB.GIF" width="26" height="27"><a href="#浮点数的乘法">浮点数的乘法<br>
</a><img border="0" src="images/SUB.GIF" width="26" height="27"><a href="#MIPS的浮点指令">MIPS的浮点指令</a><br>
<img border="0" src="images/SUB.GIF" width="26" height="27"><a href="#精度计算">精度计算</a></font></p>
<p align="left"><font color="#000000" size="4">一：<a name="浮点数在机器中的表示形式">浮点数在机器中的表示形式</a></font></p>
<p align="left"><font color="#000000" size="4">1.引言：Speed gets you nowhere if
you're headed in the wrong direction.--American proverb.</font></p>
<p align="left"><font color="#000000" size="4"> 在计算机编程语言中，除了要无符和有符整数之外，还要求有小数，这在实数运算中是很重要的。下面是一些实数的例子：3.14159265...<sub>ten</sub>(pi),2.71828...<sub>ten</sub>(e)
,0.00000000<sub>ten</sub> or 1.0<sub>ten</sub>×10<sup>-9</sup>(seconds in a nanosecond),3155760000<sub>ten</sub> or 3.15576<sub>ten</sub>×10
<sup>9</sup>(seconds ina century)。</font></p>
<p align="left"><font color="#000000" size="4"> 注意到最后一个例子中，这个数字并不代表一个小数，但是由于数字太大而不能用一般的有符整数表示，这种表示法称为scientific
notation(科学表示法)，这种表示法中十进制小数点的左边只有一位数字。如果小数点左边只有一位数字并且该数字不为零，则该种表示则称为规范化表示。</font></p>
<p align="left"><font color="#000000" size="4"> 例如：1.0<sub>ten</sub>×10<sup>-9</sup>是规范化科学数字表示方法，而0.1<sub>ten</sub>×10<sup>-8</sup>和
10.0<sub>ten</sub>×10<sup>-10</sup>就不是。</font></p>
<p align="left"><font color="#000000" size="4"> 同十进制表示方法相同，我们可以用科学表示法表示二进制数字。支持这种运算的计算机算术称为浮点运算(floating
point)。在C语言中，float是一种数字类型。同十进制中科学表示法相似，在二进制中，标准的表示方法为：1.xxxxxxxxx<sub>two</sub>×2<sup>yyyy</sup>。</font></p>
<p align="left"><font color="#000000" size="4"> 这种对实数的科学表示有三个优点：首先简化了浮点数的数据交换；同时也简化了运算的各种算法；由于去掉了实数的前导的0，提高了有效值位数和数字的精度。</font></p>
<p align="left"><font color="#000000" size="4">2.单精度表示方法：</font></p>
<p align="left"><font color="#000000" size="4"> 在MIPS中浮点数的表示如下图：</font></p>
<p align="center"><font color="#000000" size="4"><img border="0" src="images/4-8-pic1.gif" width="530" height="74"></font></p>
<p align="left"><font color="#000000" size="4"> 其中，s是浮点数的符号位(1
meaning negative)，表示浮点数的正负； exponent是阶码，表示浮点数的最大范围，为指数；significand称为尾数，表示有效位。浮点数表示形式为(-1)<sup>s</sup>×F×2<sup>E</sup>,F为significand的有效值，E为exponent的值。</font></p>
<p align="left"><font color="#000000" size="4"> 设计者必须在significand和exponent的数位大小之间找到一个折中固定的方案，因为在算术计算当中操作数的位数必须要首先固定且在相同范围内。这同时也是数字精度和数字表示范围的一个折中，增加significand的大小则提高数字的精度，但增加exponent的大小则增加数字的表示范围，这就是good
design demands compromise.</font></p>
<p align="left"><font color="#000000" size="4">
上图给出的方案中，浮点数的表示范围在2.0<sub>ten</sub>×10<sup>-38</sup>和2.0<sub>ten</sub>×10<sup>38</sup>之间。由于有了范围，则超过此范围的浮点数就不能表示，这样则产生溢出(overflow
interrupts)，这同整数是一样的。overflow是由于浮点数太大而不能表示。同样也会有太小而不能表示的浮点数，这时候计算机也会给出一个错误的结果，这种情况称为underflow，也就是exponent中的负指数太大超出了范围。</font></p>
<p align="left"><font color="#000000" size="4">3.双精度表示方法</font></p>
<p align="left"><font color="#000000" size="4"> 为了减少overflow和underflow的出现几率，MIPS给出了double
precision floating-point arithmetic，上面的single precision floating-point
arithmetic是单精度浮点运算。这种双精度浮点数的表示范围在2.0<sub>ten</sub>×10<sup>-308</sup>和2.0<sub>ten</sub>×10<sup>308</sup>之间。</font></p>
<p align="left"><font color="#000000" size="4">
一个双精度浮点数需要两个MIPS words，其具体表示如下：</font></p>
<p align="center"><font color="#000000" size="4"><img border="0" src="images/4-8-pic2.gif" width="538" height="110"></font></p>
<p align="left"><font color="#000000" size="4"> 以上的格式是IEEE
754 floating-point standard的部分标准，这个标准极大的提高了浮点数运算质量和并降低了难度。在IEEE
754标准中，为了更加提高精度，将significand的最前面的1隐藏起来。这样以来单精度中的significand实际上是24
bits长(1 and a 23-bit fraction);双精度中的significand实际上是53 bits长(1+52)。由于0的机器数表示中不是以1为头，则exponent的值为0，硬件不会给significand加1。因此00...00<sub>two</sub>代表0，其他数字则要给significand加1，如公式：(-1)<sup>s</sup>×(1+significand)×2<sup>E</sup>.其中significand是0到1之间的小数，我们用s1,s2,s3,...来表示significand的各位数字，则有公式：<br>
(-1)<sup>s</sup>×(1+(s1×2<sup>-1</sup>)+(s2×2<sup>-2</sup>)+(s3×2<sup>-3</sup>)+...)×2<sup>E</sup>。有了这个公式，我们可以很容易地用整数的处理方法来处理浮点数了，如两数的大小比较，两数是否相等。</font></p>
<p align="left"><font color="#000000" size="4">4.偏移表示</font></p>
<p align="left"><font color="#000000" size="4">
但是负的阶码在比较大小是碰到了问题，如果我们用一般的方法来表示负数即用补码的形式表示，这样一来，一个负的exponent看起来很像是一个很大的阶码。例如在1.0<sub>two</sub>×2<sup>-1</sup>中，exponent为11111111,而在<br>
1.0<sub>two</sub>×2<sup>+1</sup>中,exponent为00000001。我们需要的是最负的exponent应用00...00<sub>two</sub>表示，最正的exponent应用11...11<sub>two</sub>表示。这里我们引入biased
notation(偏移值),在IEEE 754中，单精度用127做为偏移值。因此-1用-1+127<sub>ten</sub>即126<sub>ten</sub>=0111 1110<sub>two</sub>来表示，+1用1+127<sub>ten</sub>即128<sub>ten</sub>=1000
0000<sub>two</sub>来表示。这样以来，浮点数就用下面这个公式来表示：(-1)<sup>s</sup>×(1+significand)×2<sup>(exponent-bias)</sup>.在单精度中the
exponent bias为127,在双精度中the exponent bias为1023。</font></p>
<p align="left"><font color="#000000" size="4"> 例子：Show the IEEE
754 binary representation of the numbers -0.75<sub>ten</sub>
in single and double precision.</font></p>
<p align="left"><font color="#000000" size="4">
在单精度中，一般表示为(-1)<sup>s</sup>×(1+significand)×2<sup>(exponent+127)</sup>.所以-0.75<sub>ten</sub>=(-1)<sup>1</sup>×(1+.1000
0000 0000 0000 0000 000<sub>two</sub>)×2<sup>(126)</sup>.其机器数表示如下：</font></p>
<p align="center"><font color="#000000" size="4"><img border="0" src="images/4-8-pic3.gif" width="547" height="62"></font></p>
<p align="left"><font color="#000000" size="4"> 在双精度中，一般表示为(-1)<sup>s</sup>×(1+significand)×2<sup>(exponent+1023)</sup>.所以－0.75<sub>ten</sub>=(-1)<sup>1</sup>×(1+.1000000000000000000000000000000000000000000000000000)×2<sup>(1022)</sup>.其机器数表示如下：</font></p>
<p align="center"><font color="#000000" size="4"><img border="0" src="images/4-8-pic4.gif" width="547" height="108"></font></p>
<p align="left"><font color="#000000" size="4"> 例子：用10进制数表示该机器数。</font></p>
<p align="center"><font color="#000000" size="4"><img border="0" src="images/4-8-pic5.gif" width="530" height="74"></font></p>
<p align="left"><font color="#000000" size="4"> 答案：the sign bit是1，exponent是129,sifnificand是1×2<sup>-2</sup>=1/4
or 0.25。因此用(-1)<sup>s</sup>×(1+significand)×2<sup>(exponent-bias)</sup>等式。<br>
(-1)<sup>1</sup>×(1+0.25)×2<sup>(129-127)</sup>=-1×1.25×2<sup>2</sup>=-1.25×4=15.0</font></p>
<p align="left"><font color="#000000" size="4">二：<a name="浮点数的加法">浮点数的加法</a></font></p>
<p align="left"><font color="#000000" size="4">
让我们用一个实例来说明浮点数的加法：9.999<sub>ten</sub>×10<sup>1</sup>+1.610<sub>ten</sub>×10<sup>-1</sup>，假设significand只有4位，exponent只有2位。</font></p>
<p align="left"><font color="#000000" size="4">
第一步：我们首先对照较大的exponent来调整较小的浮点数，以使两数的exponent大小相同。因此我们<br>
可以得到1.610<sub>ten</sub>×10<sup>-1</sup>=0.01610<sub>ten</sub>×10<sup>1</sup>，左边的数字是我们想要得到的，两数的exponent大<br>
小相同。但是我们的significand只有4位，因此得到0.016<sub>ten</sub>×10<sup>1</sup>。</font></p>
<p align="left"><font color="#000000" size="4">
第二步：将两数的sifnificand相加。<br>
9.999<sub>ten</sub><br>
0.016<sub>ten</sub><br>
+
_________<br>
10.015<sub>ten</sub><br>
因此结果为10.015<sub>ten</sub>× 10<sup>1</sup>。</font></p>
<p align="left"><font color="#000000" size="4">
第三步：规范化上一步得到的结果(normalized)。如：10.015<sub>ten</sub>×10<sup>1</sup>=1.0015<sub>ten</sub>×
10<sup>2</sup>。在规范化结果<br>
时要检查结果有没有overflow和underflow，就是要确保exponent仍然在规定范围之内。</font></p>
<p align="left"><font color="#000000" size="4">
第四步：我们知道significand只有四位长，所以我们必须对数字进行舍入操作。根据四舍五入的原则<br>
，1.0015<sub>ten</sub>×
10<sup>2</sup>在舍入之后得到1.002<sub>ten</sub>× 10<sup>2</sup>。如果结果仍然不规范化，则应该在进行第<br>
三步运算。</font></p>
<p align="left"><font color="#000000" size="4">
对于单精度数字来说，exponent在127和-126之间；对于双精度数字来说，exponent在1023和-1022之间。在上面第四步中，我们根据IEEE
754的浮点数标准来进行舍入操作的。在精度计算中，这则根据所要求的精度而定。</font></p>
<p align="left"><font color="#000000" size="4">
浮点数加法的具体流程图和硬件设计图如下：</font></p>
<p align="center"><font color="#000000" size="4"><img border="0" src="images/4-8-pic6.gif" width="341" height="433"></font></p>
<p align="center"><font color="#000000" size="4"><img border="0" src="images/4-8-pic7.gif" width="552" height="406"></font></p>
<p align="left"><font color="#000000" size="4"> Example: try adding the
numbers 0.5<sub>ten</sub> and -0.4375<sub>ten</sub> in binary using above
algorithm.<br>
Answer:首先将十进制数转化成二进制数，假设要求4位精度。<br>
0.5<sub>ten</sub>=1/2<sub>ten</sub>=1/2<sup>1</sup><sub>ten</sub>=0.1<sub>two</sub>=0.1<sub>two</sub>×2<sup>0</sup>=1.0002<sub>two</sub>×2<sup>-1</sup>=<br>
-0.4375<sub>ten</sub>=-7/16<sub>ten</sub>=-7/2<sup>4</sup><sub>ten</sub>=-0.0111<sub>two</sub>=-0.0111<sub>two</sub>×2<sup>0</sup>=-1.110<sub>two</sub>×2<sup>-2</sup><br>
step1:-1.110<sub>two</sub>×2<sup>-2</sup>=-0.111<sub>two</sub>×2<sup>-1</sup><br>
step2:1.0<sub>two</sub>×2<sup>-1</sup>+(-0.111<sub>two</sub>×2<sup>-1)</sup>=0.001<sub>two</sub>×2<sup>-1</sup><br>
step3:0.001<sub>two</sub>×2<sup>-1</sup>=0.010<sub>two</sub>×2<sup>-2</sup>=0.100<sub>two</sub>×2<sup>-3</sup>=1.000<sub>two</sub>×2<sup>-4</sup>,由于127>=-4>=-126,所以没有产<br>
升overflow和underflow。<br>
step4:Round the sum:1.000<sub>two</sub>×2<sup>-4</sup>,则最后的结果是1.000<sub>two</sub>×2<sup>-4</sup>=0.0001000<sub>two</sub>=0.0001<sub>two<br>
</sub>
=1/2<sup>4</sup><sub>ten</sub>=1/16<sub>ten</sub>=0.0625<sub>ten</sub>。 </font></p>
<p align="left"><font color="#000000" size="4">三：<a name="浮点数的乘法">浮点数的乘法</a></font></p>
<p align="left"><font color="#000000" size="4"> 我们用一个例子来说明浮点数乘法的运算方法。</font></p>
<p align="left"><font color="#000000" size="4"> 例如：1.110<sub>ten</sub>×10<sup>10</sup>×9.200<sub>ten</sub>×10<sup>-5</sup>,同样我们假设sifgificand只有四位，exponent只有两位。 </font></p>
<p align="left"><font color="#000000" size="4"> step1：求阶和，e<sub>sum</sub>=e1+e2-Biase。因为e1=E1+Biase,e2=E2+Biase,e1+e2=E1+E2+Biase+Biase,多加了<br>
一个Biase，所以要减去一个Biase。<br>
所以new
exponent=(10+127)+(-5+127)-127=259-127=132=(5+127)。<br>
step2:尾数相乘，用原码乘较方便。<br>
1.110<sub>ten</sub><br>
× 9.200<sub>ten</sub><br>
--------<br>
0000<br>
0000 <br>
2220<br>
9990<br>
------<br>
10212000<sub>ten</sub><br>
我们保留到小数点后边三位，因此可以得到product=10.212×10<sup>5</sup>。</font></p>
<p align="left"><font color="#000000" size="4"> step3:积进行规范化操作，10.212<sub>ten</sub>×10<sup>5</sup>=1.0212×10<sup>6</sup>。同时还要判断是否产生overflow和underflow<br>
,如果发生，则产生异常。<br>
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