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一个人工智能的算法求解组合优化问题的源码

模拟退火算法 
　　模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，

内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据Metropolis

准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT)，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为Boltzmann常数。用固体退

火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始

解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的

当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling 

Schedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。 
3.5.1 模拟退火算法的模型 
　　模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。 
　模拟退火的基本思想: 
　　(1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)， 每个T值的迭代次数L 
　　(2) 对k=1，……，L做第(3)至第6步： 
　　(3) 产生新解S′ 
　　(4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数 
　　(5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解. 
　　(6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。 
终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。 
　　(7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。 
算法对应动态演示图： 
模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤： 
　　第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当

前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法

决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。 
　　第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。

事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。 
　　第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropo1is准则: 若Δt′<0则接受S′作

为新的当前解S，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。 
　　第四步是当新解被确定接受时，用新解代替当前解，这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正

目标函数值即可。此时，当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时，则在原当前解的

基础上继续下一轮试验。 
　　模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关；模拟退火算法具有渐近收敛性，已在

理论上被证明是一种以概率l 收敛于全局最优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性。 

3.5.2 模拟退火算法的简单应用 
　　作为模拟退火算法应用，讨论货郎担问题(Travelling Salesman Problem，简记为TSP)：设有n个城市，用数码1,…,n代表

。城市i和城市j之间的距离为d(i，j) i, j=1,…,n．TSP问题是要找遍访每个域市恰好一次的一条回路，且其路径总长度为最

短.。 
　　求解TSP的模拟退火算法模型可描述如下： 
　　解空间 解空间S是遍访每个城市恰好一次的所有回路，是{1，……，n}的所有循环排列的集合，S中的成员记为(w1,w2 ,…

…，wn)，并记wn+1= w1。初始解可选为(1，……，n) 
　　目标函数 此时的目标函数即为访问所有城市的路径总长度或称为代价函数： 

　　我们要求此代价函数的最小值。 
　　新解的产生 随机产生1和n之间的两相异数k和m，若k<m，则将 
　　(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn) 
　　变为： 
　　(w1, w2 ,…，wm , wm-1 ,…，wk+1 , wk ,…，wn). 
　　如果是k>m，则将 
　　(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn) 
　　变为： 
　　(wm, wm-1 ,…，w1 , wm+1 ,…，wk-1 ,wn , wn-1 ,…，wk). 
　　上述变换方法可简单说成是“逆转中间或者逆转两端”。 
　　也可以采用其他的变换方法，有些变换有独特的优越性，有时也将它们交替使用，得到一种更好方法。 
　　代价函数差 设将(w1, w2 ,……，wn)变换为(u1, u2 ,……，un), 则代价函数差为： 

根据上述分析，可写出用模拟退火算法求解TSP问题的伪程序： 
Procedure TSPSA: 
　begin 
　　init-of-T; { T为初始温度} 
　　S={1，……，n}; {S为初始值} 
　　termination=false; 
　　while termination=false 
　　　begin 
　　　　for i=1 to L do 
　　　　　　begin 
　　　　　　　　generate(S′form S); { 从当前回路S产生新回路S′} 
　　　　　　　　Δt:=f(S′))-f(S);{f(S)为路径总长} 
　　　　　　　　IF(Δt<0) OR (EXP(-Δt/T)>Random-of-[0,1]) 
　　　　　　　　S=S′; 
　　　　　　　　IF the-halt-condition-is-TRUE THEN 
　　　　　　　　termination=true; 
　　　　　　End; 
　　　　T_lower; 
　　　End; 
　End 
　　模拟退火算法的应用很广泛，可以较高的效率求解最大截问题(Max Cut Problem)、0-1背包问题(Zero One Knapsack 

Problem)、图着色问题(Graph Colouring Problem)、调度问题(Scheduling Problem)等等。 

3.5.3 模拟退火算法的参数控制问题 
　　模拟退火算法的应用很广泛，可以求解NP完全问题，但其参数难以控制，其主要问题有以下三点： 
　　(1) 温度T的初始值设置问题。 
　　温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始温度高，则搜索到全局最优解的可能性大，但

因此要花费大量的计算时间；反之，则可节约计算时间，但全局搜索性能可能受到影响。实际应用过程中，初始温度一般需要

依据实验结果进行若干次调整。 
　　(2) 退火速度问题。 
　　模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关。一般来说，同一温度下的“充分”搜索(退火)是相当必要的，但这

需要计算时间。实际应用中，要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件。 
　　(3) 温度管理问题。 
　　温度管理问题也是模拟退火算法难以处理的问题之一。实际应用中，由于必须考虑计算复杂度的切实可行性等问题，常采

用如下所示的降温方式： 

T(t+1)＝k×T(t) 
式中k为正的略小于1.00的常数，t为降温的次数 

使用SA解决TSP问题的Matlab程序：

function out = tsp(loc)
% TSP Traveling salesman problem (TSP) using SA (simulated annealing).
% TSP by itself will generate 20 cities within a unit cube and
% then use SA to slove this problem.
%
% TSP(LOC) solve the traveling salesman problem with cities'
% coordinates given by LOC, which is an M by 2 matrix and M is
% the number of cities.
%
% For example:
%
% loc = rand(50, 2);
% tsp(loc);
if nargin == 0,
% The following data is from the post by Jennifer Myers (jmyers@nwu.
edu)
edu)
% to comp.ai.neural-nets. It's obtained from the figure in
% Hopfield & Tank's 1985 paper in Biological Cybernetics
% (Vol 52, pp. 141-152).
loc = [0.3663, 0.9076; 0.7459, 0.8713; 0.4521, 0.8465;
0.7624, 0.7459; 0.7096, 0.7228; 0.0710, 0.7426;
0.4224, 0.7129; 0.5908, 0.6931; 0.3201, 0.6403;
0.5974, 0.6436; 0.3630, 0.5908; 0.6700, 0.5908;
0.6172, 0.5495; 0.6667, 0.5446; 0.1980, 0.4686;
0.3498, 0.4488; 0.2673, 0.4274; 0.9439, 0.4208;
0.8218, 0.3795; 0.3729, 0.2690; 0.6073, 0.2640;
0.4158, 0.2475; 0.5990, 0.2261; 0.3927, 0.1947;
0.5347, 0.1898; 0.3960, 0.1320; 0.6287, 0.0842;
0.5000, 0.0396; 0.9802, 0.0182; 0.6832, 0.8515];
end
NumCity = length(loc); % Number of cities
distance = zeros(NumCity); % Initialize a distance matrix
% Fill the distance matrix
for i = 1:NumCity,
for j = 1:NumCity,
distance(i, j) = norm(loc(i, - loc(j, );
distance(i, j) = norm(loc(i, - loc(j, );
end
end
% To generate energy (objective function) from path
%path = randperm(NumCity);
%energy = sum(distance((path-1)*NumCity + [path(2:NumCity) path(1)]));
% Find typical values of dE
count = 20;
all_dE = zeros(count, 1);
for i = 1:count
path = randperm(NumCity);
energy = sum(distance((path-1)*NumCity + [path(2:NumCity)
path(1)]));
new_path = path;
index = round(rand(2,1)*NumCity+.5);
inversion_index = (min(index):max(index));
new_path(inversion_index) = fliplr(path(inversion_index));
all_dE(i) = abs(energy - ...
sum(sum(diff(loc([new_path new_path(1)],)'.^2)));
end
dE = max(all_dE);
dE = max(all_dE);
temp = 10*dE; % Choose the temperature to be large enough
fprintf('Initial energy = %f\n\n',energy);
% Initial plots
out = [path path(1)];
plot(loc(out(, 1), loc(out(, 2),'r.', 'Markersize', 20);
axis square; hold on
h = plot(loc(out(, 1), loc(out(, 2)); hold off
MaxTrialN = NumCity*100; % Max. # of trials at a
temperature
MaxAcceptN = NumCity*10; % Max. # of acceptances at a
temperature
StopTolerance = 0.005; % Stopping tolerance
TempRatio = 0.5; % Temperature decrease ratio
minE = inf; % Initial value for min. energy
maxE = -1; % Initial value for max. energy
% Major annealing loop
while (maxE - minE)/maxE > StopTolerance,
minE = inf;
minE = inf;
maxE = 0;
TrialN = 0; % Number of trial moves
AcceptN = 0; % Number of actual moves
while TrialN < MaxTrialN & AcceptN < MaxAcceptN,
new_path = path;
index = round(rand(2,1)*NumCity+.5);
inversion_index = (min(index):max(index));
new_path(inversion_index) =
fliplr(path(inversion_index));
new_energy = sum(distance( ...
(new_path-1)*NumCity+[new_path(2:NumCity)
new_path(1)]));
if rand < exp((energy - new_energy)/temp), % 
accept
it!
energy = new_energy;
path = new_path;
minE = min(minE, energy);
maxE = max(maxE, energy);
AcceptN = AcceptN + 1;
end
TrialN = TrialN + 1;
end
end
% Update plot
out = [path path(1)];
set(h, 'xdata', loc(out(, 1), 'ydata', loc(out(, 2));
drawnow;
% Print information in command window
fprintf('temp. = %f\n', temp);
tmp = sprintf('%d ',path);
fprintf('path = %s\n', tmp);
fprintf('energy = %f\n', energy);
fprintf('[minE maxE] = [%f %f]\n', minE, maxE);
fprintf('[AcceptN TrialN] = [%d %d]\n\n', AcceptN, TrialN);
% Lower the temperature
temp = temp*TempRatio;
end
% Print sequential numbers in the graphic window
for i = 1:NumCity,
text(loc(path(i),1)+0.01, loc(path(i),2)+0.01, int2str(i), ...
'fontsize', 8);
end