📄 ch8_2.htm
字号:
<HTML>
<HEAD>
<TITLE> 非线性方程式的实根 </TITLE>
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</HEAD>
<BODY BACKGROUND="bg0000.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img/bg0000.gif">
<H1><FONT SIZE=6 COLOR=#0000FF>8.2 非线性方程式的实根 </FONT><FONT FACE="新细明体"></FONT>
</H1>
<HR>
<P>
如果求根的方程式不为多项式的形态 就不能用 <FONT COLOR=#FF0000>roots</FONT>
函数。而这类的方策’h半是非线性方程式， 其函数形态变化很大。对于解这类方程式的根，可以用
<FONT COLOR=#FF0000>fzero</FONT>函数，它其实是用来找一函数 <I>f</I>(<I>x</I>)
的 <I>x</I> 值代入时，会使该函数值为零 (<I>f</I>(<I>x</I>)=0)；而这也就是根的特性，因此我们可以用
<FONT COLOR=#FF0000>fzero</FONT>求根。 <BR>
<P>
要求任一方程式的根有三步骤：
<OL>
<LI>先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 <I>f</I>(<I>x</I>)=0
的形态，例如一方程式为sin(<I>x</I>)=3， 则该方程式应表示为 <A NAME="work"><I>f</I>(<I>x</I>)=sin(<I>x</I>)-3。可以
m-file 定义方程式。</A>
<LI>代入适当范围的 <I>x</I>, <I>y</I>(<I>x</I>) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。
<LI>由图中决定<I>y</I>(<I>x</I>)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以<FONT COLOR=#FF0000>fzero</FONT>的语法<FONT COLOR=#FF0000>fzero('function',x0)
</FONT>即可求出在 <FONT COLOR=#FF0000>x0</FONT>附近的根，其中
<FONT COLOR=#FF0000>function </FONT>是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一
个，则须再代入另一个在根附近的 <FONT COLOR=#FF0000>x0</FONT>，再求出下一个根。
</OL>
<P>
以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。<BR>
<P>
例一、方程式为
<P>
sin(<I>x</I>)=0
<P>
我们知道上式的根有 <IMG SRC="img00002-5.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img8/img00002.gif">，求根方式如下：
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>r = % 选择 x=3 附近求根</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>3.1416</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>r =</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>6.2832<BR>
</FONT>
<P>
例二、方程式为先前提到的 MATLAB 内建函数 <FONT COLOR=#FF0000>humps</FONT>，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式
如下：
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> x=linspace(-2,3);</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> y=humps(x);</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> r=fzero('humps',1.2)</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>r =</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>1.2995<BR>
</FONT>
<P>
例三、方程式为
<P>
<IMG SRC="img00003-5.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img8/img00003.gif">
<P>
这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 <FONT COLOR=#FF0000>roots</FONT>
函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下：
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>% m-function, f_1.m</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>y=x.^3-2*x-5;<BR>
</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> x=linspace(-2,3);</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> y=f_1(x);</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>r =</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>2.0946</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> p=[1 0 -2 -5]</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>r =</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>2.0946</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>-1.0473 + 1.1359i</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>-1.0473 - 1.1359i <BR>
</FONT>
<P>
例四、方程式为
<P>
<IMG SRC="img00004-5.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img8/img00004.gif">
<P>
求根方式如下：
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>% m-function, f_2.m</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>function y=f_2(x) % 定义 f_2.m 函数</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>y=x.^2.*sin(x)+cos(x); <BR>
</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> x=linspace(-3,3);</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> y=f_2(x);</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在-1和3附近有二个根</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> r=fzero('f_2',-1); % 决定在-1附近的根</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>r =</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>-0.8952</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> r=fzero('f_2',3); % 决定在3附近的根</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>r =</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>3.0333<BR>
</FONT>
<P>
例五、方程式为
<P>
<IMG SRC="img00005-5.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img8/img00005.gif">
<P>
求根方式如下：
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>% m-function, f_3.m</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>function y=f_3(x) % 定义 f_3.m 函数</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>y=2*exp(-x).*sin(2*pi*x)-0.5; <BR>
</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> x=0:0.1:2; y=f_3(x);</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0,0.5和1附近有三个根</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> r=fzero('f_3',0) % 决定在0附近的根</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>r =</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>0.0420</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> r=fzero('f_3',0.5) % 决定在0.5附近的根</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>r =</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>0.4368</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> r=fzero('f_3',1) % 决定在1附近的根</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>r =</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>1.1435</FONT>
<HR>
<P>
<A HREF="ch8_1.htm" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/ch8_1.htm"><IMG SRC="lastpage.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img/lastpage.gif" BORDER=0></A>
<A HREF="ch9.htm" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/ch9.htm"><IMG SRC="nextpage-1.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img/nextpage.gif" BORDER=0 HSPACE=10></A>
<A HREF="index.html" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/index.html"><IMG SRC="outline-1.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img/outline.gif" BORDER=0 HSPACE=6></A>
<BR>
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