📄 content-6-2-3.htm
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<title>tongtaiguanxi</title>
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<table width="100%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0">
<tr>
<td>
<p style="line-height: 150%" align="center"><font size="2" >同态</font>
与 同构 </p>
<p style="line-height: 150%"><font size="2" ><a name="content-6-2-3-tongtai"></a>同态
</font><br>
设 U=<X,<img src="image/juhao.GIF" width="8" height="13">>
和 V=<Y,*> 是两个<a href="content-6-2-1.htm#content-6-2-1-tongyileixing">同一类型</a>的<a href="content-6-1-1.htm#content-6-1-1-daishuxitong">代数系统</a>，<img src="image/juhao.GIF" width="8" height="13">
和 * 同为<a href="content-5-5-1.htm#content-5-5-1-eryuanyunsuan">二元运算</a>，再设存在着一个<a href="content-5-1-1.htm#content-5-1-1-hanshu">函数</a>，f:X<img src="image/dao.GIF" width="15" height="9">Y，对<img src="image/renyi.gif" width="9" height="11"><img src="image/x1.GIF" width="11" height="11">,<img src="image/x2.GIF" width="12" height="11"><img src="image/shuyu.gif" width="13" height="11">X，如果有
f(<img src="image/x1.GIF" width="11" height="11"><img src="image/juhao.GIF" width="8" height="13"><img src="image/x2.GIF" width="12" height="11">)=f(<img src="image/x1.GIF" width="11" height="11">)<img src="image/juhao.GIF" width="8" height="13">f(<img src="image/x2.GIF" width="12" height="11">)，则称
f:X<img src="image/dao.GIF" width="15" height="9">Y
是从代数系统 U 到 V 的同态，有时也说函数 f 运载运算<img src="image/juhao.GIF" width="8" height="13">到*。
<br>
</p>
<p style="line-height: 150%">定理：给定<a href="content-6-1-1.htm#content-6-1-1-daishuxitong">代数系统</a>
U=<X,<img src="image/juhao.GIF" width="8" height="13">>
和 V=<Y,*>，并且<a href="content-5-1-1.htm#content-5-1-1-hanshu">函数</a>
f:X<img src="image/dao.GIF" width="15" height="9">Y
是从 U 到 V 的同态，于是代数系统 <img src="image/V%27.gif">=<f(X),*>
是代数系统 V 的<a href="content-6-2-2.htm#content-6-2-2-zidaishu">子代数</a>，并称
<img src="image/V%27.gif">
是在 f 作用下的代数系统 U 的同态象点。</p>
<p style="line-height: 150%">定义<br>
给定<a href="content-6-1-1.htm#content-6-1-1-daishuxitong">代数系统</a> U=<X,<img src="image/juhao.GIF" width="8" height="13">>
和 V=<Y,*>，并且<a href="content-5-1-1.htm#content-5-1-1-hanshu">函数</a>
f:X<img src="image/dao.GIF" width="15" height="9">Y
是从 U 到 V 的同态，于是：<br>
(1)如果 f 是个映满的映射(<a href="content-5-2-1.htm#content-5-2-1-manshe">满射</a>函数)，则称
f 是从 U 到 V 的满同态。<br>
(2)如果 f 是个一对一的映射(<a href="content-5-2-1.htm#content-5-2-1-danshe">单射</a>函数)，则称
f 是从 U 到 V 的单一同态。<br>
(3)如果 f 是个一对一的满的映射(<a href="content-5-2-1.htm#content-5-2-1-shuangshe">双射</a>函数)，则称
f 是从 U 到 V 的<a name="content-6-2-3-tonggou"></a>同构映射。<br>
由此可见，同态是同构的特定情况，如果 f 是从 U 到 V 的满同态，则称 U
和 V 同态。记为 U<img src="IMAGE/tongtai.gif" width="29" height="18">V。</p>
<p style="line-height: 150%">同构 <br>
设 U=<X,<img src="image/juhao.GIF" width="8" height="13">>
和 V=<Y,*> 是两个<a href="content-6-2-1.htm#content-6-2-1-tongyileixing">同一类型</a>的<a href="content-6-1-1.htm#content-6-1-1-daishuxitong">代数系统</a>，从代数系统
U 到 V，如果存在一个同构映射 f:X<img src="image/dao.GIF" width="15" height="9">Y
的话，则称代数系统 U 和 V 是同构的。 </p>
<p style="line-height: 150%">定理 ：给定<a href="content-6-1-1.htm#content-6-1-1-daishuxitong">代数系统</a>
U=<X,*,<img src="image/cheng.GIF" width="13" height="14">>
和 V=<Y,⊙,<img src="image/quancha.GIF">>
其中的 * 和 <img src="image/cheng.GIF" width="13" height="14">
以及 ⊙ 和 <img src="image/quancha.GIF">
都是<a href="content-5-5-1.htm#content-5-5-1-eryuanyunsuan">二元运算</a>。设 f:X<img src="image/dao.GIF" width="15" height="9">Y
是从 U 到 V 的满同态，这样 * 和 <img src="image/cheng.GIF" width="13" height="14">
可被分别运载到运算 ⊙ 和 <img src="image/quancha.GIF">，则：<br>
(1)如果运算 * 和 <img src="image/cheng.GIF" width="13" height="14">
都是可交换的和(或)可结合的，则运算 ⊙ 和 <img src="image/quancha.GIF">
也都是可交换的和(或)可结合的。<br>
(2)对于运算 * 和 <img src="image/cheng.GIF" width="13" height="14">，如果代数系统
U 分别具有<a href="content-5-5-2.htm#content-5-5-2-danweiyuan">幺元</a> <img src="image/e1.GIF" width="18" height="24">
和 <img src="image/e2.GIF" width="19" height="24">
则对于运算 ⊙ 和 <img src="image/quancha.GIF">，代数系统
V 会分别具有幺元 f(<img src="image/e1.GIF" width="18" height="24">
) 和 f(<img src="image/e2.GIF" width="19" height="24">
)。<br>
(3)对于运算 *，如果每一个元素 x<img src="image/shuyu.gif" width="13" height="11">X
都有一个<a href="content-5-5-4.htm#content-5-5-4-niyuan">逆元</a> <img src="image/e deni.GIF" width="19" height="24">
的话，则对于运算 ⊙，每一个元素 f(x)<img src="image/shuyu.gif" width="13" height="11">Y，也都会具有一个逆元
f(<img src="image/e deni.GIF" width="19" height="24">)，对于运算
<img src="image/cheng.GIF" width="13" height="14">，如果每一个元素
x<img src="image/shuyu.gif" width="13" height="11">X，都有一个逆元
<img src="image/e deni.GIF" width="19" height="24">
的话，则对于运算<img src="image/quancha.GIF">，每一个元素
f(x)<img src="image/shuyu.gif" width="13" height="11">Y，也都会具有一个逆元
f(<img src="image/e deni.GIF" width="19" height="24">)。<br>
(4)如果运算 * 对于运算 <img src="image/cheng.GIF" width="13" height="14">
是可分配的，则运算 ⊙ 对于运算 <img src="image/quancha.GIF">
也必定是可分配的。 </p>
<p style="line-height: 150%">定义 <br>
给定两个<a href="content-6-2-1.htm#content-6-2-1-tongyileixing">同一类型</a>的<a href="content-6-1-1.htm#content-6-1-1-daishuxitong">代数系统</a>
U=<X,<img src="image/juhao.GIF" width="8" height="13">>
和 V=<Y,<img src="image/juhao.GIF" width="8" height="13">>，并且从
U 到 V 存在一个映射 f:X<img src="image/dao.GIF" width="15" height="9">Y：<br>
(1)如果 f 是一个同态且有 Y<img src="image/baohan.gif" width="11" height="10">X，则称
f 是从 U 到的自同态。<br>
(2)如果 f 是一个同构且有 Y=X，则称 f 是从
U 到的自同构。 </p>
</td>
</tr>
</table>
<p style="line-height: 150%"> </p>
<p style="line-height: 150%"> </p><p align="right"><b><a href="contentFrame-mulu.htm"><<back</a></b>
</body>
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