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<title>6_2xiti</title>
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<body bgcolor="#FFFFFF" background="IMAGE/Di.gif">
<p style="line-height: 150%" align="center">本节习题</p>
<p style="line-height: 150%">1.给定代数系统 U=<N,<img src="image/cheng.GIF" width="13" height="14">>
和 V=<{0,1},<img src="image/cheng.GIF" width="13" height="14">>，其中的
N 是自然数集合，<img src="image/cheng.GIF" width="13" height="14">
是一般的乘法运算。对于 k <img src="IMAGE/dayudengyu.gif"> 0
来说，设函数 f:N<img src="image/yunhan.gif" width="15" height="9">{0,1}
是：<br>
f(n)=1 当 n=<img src="IMAGE/2 de k cimi.gif" width="20" height="20">；<br>
f(n)=0 当 n<img src="image/budeng.GIF" width="14" height="14"> <img src="IMAGE/2 de k cimi.gif" width="20" height="20"><br>
试证明函数 f 是一个从 U 到 V 的同态。 </p>
<p style="line-height: 150%">2.给定代数系统 U=<X,<img src="image/juhao.GIF" width="8" height="13">>、V=<Y,*>
和 W=<Z,<img src="image/cheng.GIF" width="13" height="14">>。设
f：X<img src="image/yunhan.gif" width="15" height="9">Y
是从 U 到 V 的同态，且 g：Y<img src="image/yunhan.gif" width="15" height="9">Z
是从 V 到 W 的同态，于是<br>
g<img src="image/juhao.GIF" width="8" height="13">f：X<img src="image/yunhan.gif" width="15" height="9">Z
必定是个从 U 到 W 的同态。 </p>
<p style="line-height: 150%">3.给定代数系统 U=<S,*> 和 V=<P, <img src="image/quanjia.GIF">>，其中，集合
S={a,b,c} 和 P={1,2,3}。在表 6_3.7 和表 6_3.8 中分别地给出了二元运算 * 和 <img src="image/quanjia.GIF">
的定义。试证明代数系统 U 和 V 是同构的。<br>
表6_3.7 <br>
</p>
<table width="200" border="1" cellspacing="0" cellpadding="0">
<tr>
<td >
<div align="center">* </div>
</td>
<td >
<div align="center">a</div>
</td>
<td >
<div align="center">b</div>
</td>
<td >
<div align="center">c</div>
</td>
</tr>
<tr>
<td >
<div align="center">a</div>
</td>
<td >
<div align="center">a</div>
</td>
<td >
<div align="center">b</div>
</td>
<td >
<div align="center">c</div>
</td>
</tr>
<tr>
<td >
<div align="center">b</div>
</td>
<td >
<div align="center">b</div>
</td>
<td >
<div align="center">b</div>
</td>
<td >
<div align="center">c</div>
</td>
</tr>
<tr>
<td >
<div align="center">c</div>
</td>
<td >
<div align="center">c</div>
</td>
<td >
<div align="center">b</div>
</td>
<td >
<div align="center">c</div>
</td>
</tr>
</table>
<p style="line-height: 150%">表6_3.8 </p>
<table width="200" border="1" cellspacing="0" cellpadding="0">
<tr>
<td >
<div align="center">* </div>
</td>
<td >
<div align="center">a</div>
</td>
<td >
<div align="center">b</div>
</td>
<td >
<div align="center">c</div>
</td>
</tr>
<tr>
<td >
<div align="center">a</div>
</td>
<td >
<div align="center">a</div>
</td>
<td >
<div align="center">b</div>
</td>
<td >
<div align="center">c</div>
</td>
</tr>
<tr>
<td >
<div align="center">b</div>
</td>
<td >
<div align="center">b</div>
</td>
<td >
<div align="center">b</div>
</td>
<td >
<div align="center">c</div>
</td>
</tr>
<tr>
<td >
<div align="center">c</div>
</td>
<td >
<div align="center">c</div>
</td>
<td >
<div align="center">b</div>
</td>
<td >
<div align="center">c</div>
</td>
</tr>
</table>
<p style="line-height: 150%">4.设集合 S={a,b,c}，给定代数系统 U=<{<img src="image/kong.GIF" width="11" height="11">,S},<img src="image/bing.gif" width="10" height="14">,<img src="image/jiao.gif" width="14" height="15">>
、 V=<{{a,b},s},<img src="image/bing.gif" width="10" height="14">,<img src="image/jiao.gif" width="14" height="15">>
</p>
<p style="line-height: 150%">U 和 V 是否是同构的? </p>
<p style="line-height: 150%"></p>
<p style="line-height: 150%"></p>
<p style="line-height: 150%"></p>
<p style="line-height: 150%"></p>
<p style="line-height: 150%"></p>
<p style="line-height: 150%"></p>
<p style="line-height: 150%"></p>
<p style="line-height: 150%"><br>
5.给定代数系统 U=<I,*>，其中的 I 是整数集合，* 是一个一元运算，* 的定义是：对于 m<img src="image/shuyu.gif" width="13" height="11"><img src="IMAGE/I+.gif">
和 k<img src="image/shuyu.gif" width="13" height="11"><img src="IMAGE/I+.gif">
有 </p>
<p style="line-height: 150%"> *(i)=( <img src="IMAGE/idek.gif" width="16" height="21">)(mod
m) </p>
<p style="line-height: 150%">设集合 I 中有一种关系 R，使得( <img src="IMAGE/i1.gif" width="14" height="24">)(mod
m)=( <img src="IMAGE/i2.gif" width="15" height="24">)(mod
m)，才有 <img src="IMAGE/i1.gif" width="14" height="24">R <img src="IMAGE/i2.gif" width="15" height="24">，关系
R 是否是 U 中的同余关系? </p>
<p style="line-height: 150%">6.给定代数系统 F3=<N3,+3,<img src="image/cheng.GIF" width="13" height="14">3>,且R是集合N3中的任何一种等价关系. </p>
<p style="line-height: 150%">(a)试证明,对于运算 +3 ,如果关系 R 具有代换性质，则对于运算 <img src="image/cheng.GIF" width="13" height="14">3，关系
R 也具有代换性质 </p>
<p style="line-height: 150%">(b)试求出集合 N3 中的一种等价关系 S，它对于运算 <img src="image/cheng.GIF" width="13" height="14">3
具有代换性质；而对于运算+3 却没有代换性质. </p>
<p style="line-height: 150%">7.试证明,代数系统中的任何两种同余关系的交集,也必定是个同余关系. </p>
<p style="line-height: 150%">8.试说明,代数系统中的两种同余关系的合成关系,未必是个同余关系. </p>
<p style="line-height: 150%">9.给定代数系统A=<I,+>,其中的I是整数集合,且+是一般的加法运算.设R是集合I中的二元关系,且R的定义如下:对于x,y<img src="image/shuyu.gif" width="13" height="11">I有 </p>
<p style="line-height: 150%">(a)xRy<img src="image/dengjia.gif" width="17" height="9">(x<0<img src="image/hequ.gif" width="9" height="11">y<0)<img src="image/xiqu.gif" width="9" height="15">(x <img src="IMAGE/dayudengyu.gif"> 0<img src="image/hequ.gif" width="9" height="11">y <img src="IMAGE/dayudengyu.gif"> 0) </p>
<p style="line-height: 150%">(b)xRy<img src="image/dengjia.gif" width="17" height="9">|x-y|<10 </p>
<p style="line-height: 150%">(c)xRy<img src="image/dengjia.gif" width="17" height="9">(x=y=0)<img src="image/xiqu.gif" width="9" height="15">(x<img src="image/budeng.GIF" width="14" height="14">0<img src="image/hequ.gif" width="9" height="11">y<img src="image/budeng.GIF" width="14" height="14">0) </p>
<p style="line-height: 150%">(d)xRy<img src="image/dengjia.gif" width="17" height="9">x <img src="IMAGE/dayudengyu.gif"> y </p>
<p style="line-height: 150%">对于每种关系R,试证明或反驳R是A中的同余关系. </p>
<p style="line-height: 150%"> </p>
<p style="line-height: 150%">10.给定代数系统F=<A,*,<img src="image/quancha.GIF">>
, 其中的集合A={ <img src="IMAGE/a1.gif" width="12" height="15">, <img src="IMAGE/a2.gif" width="14" height="15">,... <img src="IMAGE/a5.gif">,}
,并在表6_5.1中给出了运算*和<img src="image/quancha.GIF">的定义.设R是集合A中的一种关系,在A中R能够产生划分{{ <img src="IMAGE/a1.gif" width="12" height="15">, <img src="IMAGE/a3.gif" width="14" height="15">},{ <img src="IMAGE/a2.gif" width="14" height="15">, <img src="IMAGE/a5.gif">},{ <img src="IMAGE/a4.gif">}}.试证明R是F中的同余关系.用构成运算表的方法,试求出商代数F/R,并求出从F到F/R的满同态. </p>
<p style="line-height: 150%">表6_5.1 </p>
<table width="450" border="1" cellspacing="0" cellpadding="0" height="150">
<tr>
<td width="135">
<div align="center"> <img src="IMAGE/a_i.gif" width="19" height="24"></div>
</td>
<td width="151">
<div align="center">*( <img src="IMAGE/a_i.gif" width="19" height="24">)</div>
</td>
<td width="164">
<div align="center"><img src="image/quancha.GIF">( <img src="IMAGE/a_i.gif" width="19" height="24">)</div>
</td>
</tr>
<tr>
<td width="135">
<div align="center"> <img src="IMAGE/a1.gif" width="12" height="15"></div>
</td>
<td width="151">
<div align="center"> <img src="IMAGE/a4.gif"></div>
</td>
<td width="164">
<div align="center"> <img src="IMAGE/a3.gif" width="14" height="15"></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td width="135">
<div align="center"> <img src="IMAGE/a2.gif" width="14" height="15"></div>
</td>
<td width="151">
<div align="center"> <img src="IMAGE/a3.gif" width="14" height="15"></div>
</td>
<td width="164">
<div align="center"> <img src="IMAGE/a2.gif" width="14" height="15"></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td width="135">
<div align="center"> <img src="IMAGE/a3.gif" width="14" height="15"></div>
</td>
<td width="151">
<div align="center"> <img src="IMAGE/a4.gif"></div>
</td>
<td width="164">
<div align="center"> <img src="IMAGE/a1.gif" width="12" height="15"></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td width="135">
<div align="center"> <img src="IMAGE/a4.gif"></div>
</td>
<td width="151">
<div align="center"> <img src="IMAGE/a2.gif" width="14" height="15"></div>
</td>
<td width="164">
<div align="center"> <img src="IMAGE/a3.gif" width="14" height="15"></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td width="135">
<div align="center"> <img src="IMAGE/a5.gif"></div>
</td>
<td width="151">
<div align="center"> <img src="IMAGE/a1.gif" width="12" height="15"></div>
</td>
<td width="164">
<div align="center"> <img src="IMAGE/a5.gif"></div>
</td>
</tr>
</table>
<p style="line-height: 150%"> </p>
<p style="line-height: 150%">11.给定代数系统U=<X,<img src="image/juhao.GIF" width="8" height="13">>和V=<Y,*>,其中的<img src="image/juhao.GIF" width="8" height="13">和*都是二元运算.U和V的积代数U<img src="image/cheng.GIF" width="13" height="14">V=<X<img src="image/cheng.GIF" width="13" height="14">Y,<img src="image/quancha.GIF">>
.试证明 </p>
<p style="line-height: 150%">(a)如果运算<img src="image/juhao.GIF" width="8" height="13">和*都是可交换的,则运算<img src="image/quancha.GIF">也是可交换的； </p>
<p style="line-height: 150%">(b)如果运算<img src="image/juhao.GIF" width="8" height="13">和*都是可结合的,则运算<img src="image/quancha.GIF">也是可结合的。 </p>
<p style="line-height: 150%">12.给定代数系统 <img src="IMAGE/Am.gif" width="27" height="24">=<<img src="image/Nm.GIF" width="18" height="15" >,+m>,其中的集合<img src="image/Nm.GIF" width="18" height="15" >={0,1,2,...,m-1},运算
+m 是 "模m加法"。 </p>
<p style="line-height: 150%">(a)试证明积代数 <img src="IMAGE/A_2.gif"><img src="image/cheng.GIF" width="13" height="14"><img src="IMAGE/A_3.gif">同构于
<img src="IMAGE/A_6.gif">。 </p>
<p style="line-height: 150%">(b)试举出积代数 <img src="IMAGE/A_2.gif"><img src="image/cheng.GIF" width="13" height="14"><img src="IMAGE/A_3.gif">中的一些同余关系。 </p>
<p style="line-height: 150%"> </p>
<p style="line-height: 150%"> </p><p align="right"><b><a href="contentFrame-mulu.htm"><<back</a></b>
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