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<title>shangdaishu</title>
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<table width="100%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0">
<tr>
<td>
<p style="line-height: 150%" align="center"><font size="2" >商 代 数</font></p>
<p style="line-height: 150%"> 对于<a href="content-6-1-1.htm#content-6-1-1-daishuxitong">代数系统</a>，可以按类似于在集合中利用<a href="content-4-5-1.htm#content-4-2-1-dengjiaguanxi">等价关系</a>构造<a href="content-4-5-3.htm#content-4-2-3-shangji">商集</a>那样由等价关系来构造其商代数，但是并非任何等价关系都可用于构造商代数。能构造商代数的等价关系还必须满足另一个性质。即所谓的代换性质。</p>
<p style="line-height: 150%"> 代换性质<br>
给定<a href="content-6-1-1.htm#content-6-1-1-daishuxitong">代数系统</a>
<X,*>，其中的 * 是集合 X 中的<a href="content-5-5-1.htm#content-5-5-1-eryuanyunsuan">二元运算</a>，设
E 是集合 X 中的一种<a href="content-4-5-1.htm#content-4-2-1-dengjiaguanxi">等价关系</a>，若对于任何<img src="image/x1.GIF" width="11" height="11">，<img src="image/x2.GIF" width="12" height="11"><img src="image/shuyu.gif" width="13" height="11">X，<img src="image/y1.GIF" width="22" height="29">，<img src="image/y2.GIF" width="23" height="29"><img src="image/shuyu.gif" width="13" height="11">X，都有：<br>
（<img src="image/x1.GIF" width="11" height="11">
E<img src="image/x2.GIF" width="12" height="11">
）<img src="image/hequ.gif" width="9" height="11">
（<img src="image/y1.GIF" width="22" height="29">
E<img src="image/y2.GIF" width="23" height="29">
）<img src="image/tuichu.gif" width="15" height="9">（<img src="image/x1.GIF" width="11" height="11">*<img src="image/y1.GIF" width="22" height="29">
） E（<img src="image/x2.GIF" width="12" height="11">*<img src="image/y2.GIF" width="23" height="29">）<br>
则称对于运算 * 等价关系 E 具有代换性质。</p>
<p style="line-height: 150%">由代换性质性质可以定义同余关系。 </p>
<p style="line-height: 150%"><br>
<a name="content-6-2-4-tongyuguanxi"></a>同余关系<br>
给定<a href="content-6-1-1.htm#content-6-1-1-daishuxitong">代数系统</a>
U=<X,*>，并且 E 是集合 X 中的<a href="content-4-5-1.htm#content-4-2-1-dengjiaguanxi">等价关系</a>，于是，对于<a href="content-5-5-1.htm#content-5-5-1-eryuanyunsuan">二元运算</a>
*，如果等价关系 E 具有代换性质，则称 E 是代数系统 U 中的同余关系，与此相对应，称等价关系 E 的等价类是同余类。</p>
<p style="line-height: 150%">下面的定理给出了一个定义同余关系的途径。<br>
定理 ：给定<a href="content-6-1-1.htm#content-6-1-1-daishuxitong">代数系统</a>
U=<X,<img src="image/juhao.GIF" width="8" height="13">>
和 V=<Y,*>，其中的 <img src="image/juhao.GIF" width="8" height="13">
和 * 都是<a href="content-5-5-1.htm#content-5-5-1-eryuanyunsuan">二元运算</a>。设映射
f:X<img src="image/dao.GIF" width="15" height="9">Y
是从 U 到 V 的<a href="content-6-2-3.htm#content-6-2-3-tongtai">同态</a>。于是，对应于同态
f，能够定义一个代数系统 U 中的关系 E，亦即对于任何元素 <img src="image/x1.GIF" width="11" height="11">,<img src="image/x2.GIF" width="12" height="11"><img src="image/shuyu.gif" width="13" height="11">X
都有：<br>
<img src="image/x1.GIF" width="11" height="11">E<img src="image/x2.GIF" width="12" height="11"><img src="image/dengjia.gif" width="17" height="9">f(<img src="image/x1.GIF" width="11" height="11">)=f(<img src="image/x2.GIF" width="12" height="11">)<br>
则关系 E 必定是 U 中的同余关系。 </p>
<p style="line-height: 150%">基于同余关系，可以如下构造商代数。 </p>
<p style="line-height: 150%"><br>
商代数 <br>
给定<a href="content-6-1-1.htm#content-6-1-1-daishuxitong">代数系统</a>
U=<X,<img src="image/juhao.GIF" width="8" height="13">>，其中的
<img src="image/juhao.GIF" width="8" height="13">
是一个<a href="content-5-5-1.htm#content-5-5-1-eryuanyunsuan">二元运算</a>，E
是 U 中的同余关系。试构成一个新的代数系统 W=<X/E,<img src="image/quancha.GIF">>，其中：<br>
(1)X/E={ <img src="image/%5BX%5DE.GIF" width="36" height="29">|x<img src="image/shuyu.gif" width="13" height="11">X}<br>
(2)对于 <img src="image/x1.GIF" width="11" height="11">,<img src="image/x2.GIF" width="12" height="11"><img src="image/shuyu.gif" width="13" height="11">X
来说，<img src="image/%5BX1%5DE.GIF" width="41" height="29"><img src="image/quancha.GIF"><img src="image/%5BX2%5DE.GIF" width="44" height="29">=<img src="IMAGE/%5Bx1ox2%5D.gif" width="60" height="25"> <br>
于是，称代数系统 W 是对于关系 E 的 U 的商代数，或简称为商代数，并记作 U/E。 </p>
<p style="line-height: 150%">下面揭示代数系统与商代数的关系。首先定义一种映射。 </p>
<p style="line-height: 150%"> 正则映射 <br>
给定集合
X，且 E 是 X 中的一种<a href="content-4-5-1.htm#content-4-2-1-dengjiaguanxi">等价关系</a>。设从
X 到 X/E 的<a href="content-5-1-1.htm#content-5-1-1-hanshu">函数</a> g:X<img src="image/dao.GIF" width="15" height="9">X/E，对于任何
x<img src="image/shuyu.gif" width="13" height="11">X
有g(x)=<img src="image/%5BX%5DE.GIF" width="36" height="29">，于是通常称
g 是从集合 X 到商集 X/E 的正则映射。 </p>
<p style="line-height: 150%">基于正则映射，可以定义自然同态。 </p>
<p style="line-height: 150%"> 自然同态 <br>
给定<a href="content-6-1-1.htm#content-6-1-1-daishuxitong">代数系统</a>
U=<X,<img src="image/juhao.GIF" width="8" height="13">>，其中的
<img src="image/juhao.GIF" width="8" height="13">
是个<a href="content-5-5-1.htm#content-5-5-1-eryuanyunsuan">二元运算</a>。设 E
是 U 中的<a href="#content-6-2-4-tongyuguanxi">同余关系</a>，且 U 的商代数是 U/E=<X/E,<img src="image/quancha.GIF">
>，X 到 X/E 的正则映射 g:X<img src="image/dao.GIF" width="15" height="9">X/E
是 g(x)=<img src="image/%5BX%5DE.GIF" width="36" height="29">。于是，正则映射
g 是一个从 U 到 U/E 的<a href="content-6-2-3.htm#content-6-2-3-tongtai">同态</a>，这个同态称为与
E 相关的自然同态，或简称为自然同态。 </p>
<p style="line-height: 150%">最后我们可以得到代数系统与商代数间的关系。 </p>
<p style="line-height: 150%"> 定理 :
给定代数系统 U=<X,<img src="image/juhao.GIF" width="8" height="13">>
和 V=<Y,*>，其中的 <img src="image/juhao.GIF" width="8" height="13">
和 * 都是二元运算。设映射 f:X<img src="image/dao.GIF" width="15" height="9">Y
是从 U 到 V 的满同态。且 E 是 U 中的对应于 f 的同余关系，g:X<img src="image/dao.GIF" width="15" height="9">X/E
是从 U 到 U/E=<X/E,<img src="image/quancha.GIF">>
的自然同态，则在商代数 U/E 和代数系统 V 之间，存在着一个同构映射 h:X/E<img src="image/dao.GIF" width="15" height="9">Y。 </p>
</td>
</tr>
</table>
<p style="line-height: 150%" align="center"> </p>
<p style="line-height: 150%"> </p><p align="right"><b><a href="contentFrame-mulu.htm"><<back</a></b>
</body>
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