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<title>hechengdebiaoshi</title>
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<table width="100%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0">
<tr>
<td>
<p style="line-height: 150%" align="center"><b>
关系的幂</b> </p>
<p style="line-height: 150%" align="left" ><b>定义 :
关系的幂</b> </p>
<p style="line-height: 150%" align="left" > 给定集合 A，并且 R 是 A 中的<a href="content-4-1-1.htm#content-4-1-1-eryuanguanxi">二元关系</a>。设
n<img src="image/shuyu.gif" width="13" height="11">N={0,1,2,...}，于是可把
R 的 n 次幂 <img src="Image/rden.gif" width="15" height="12">定义成：<br>
(1)<img src="image/Rde0.GIF" width="15" height="14">=<img src="Image/Ia.gif" width="14" height="15">={<x,x>|x<img src="image/shuyu.gif" width="13" height="11">A},亦即<img src="image/Rde0.GIF" width="15" height="14">是集合
A 中的恒等关系<img src="Image/Ia.gif" width="14" height="15"><br>
(2) <img src="image/Rd_n1.GIF" width="26" height="14">=<img src="Image/rden.gif" width="15" height="12"><img src="image/juhao.GIF" width="8" height="13">R </p>
<p style="line-height: 150%" align="left" >
</p>
<p style="line-height: 150%" align="left" >
<b>
定理3:</b> </p>
<p style="line-height: 150%" align="left" >
<b> </b> 给定集合 A,并且 R 是 A 中的<a href="content-4-1-1.htm#content-4-1-1-eryuanguanxi">二元关系</a>，设
m,n<img src="image/shuyu.gif" width="13" height="11">N。于是应有： </p>
<blockquote>
<p style="line-height: 150%" align="left" >
(1)R<sup>n</sup><img src="image/juhao.GIF" width="8" height="13">R<sup>m</sup>=R<sup>nm<br>
</sup>
(2)(R<sup>n</sup>)<sup>m</sup>=R<sup>nm</sup> </p>
</blockquote>
<p style="line-height: 150%" align="left" ><b>R</b><sup><b>n</b></sup><b>的关系图的特征:</b> </p>
<p style="line-height: 150%" align="left" ><b> </b>在R中,如果从x到y经过x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>,…,x<sub>i-1</sub>有一条弧,则在关系R<sup>2</sup>,R<sup>3</sup>,…,R<sup>i</sup>中也有一条x到y的弧.即,在R<sup>i</sup><sup></sup>中有一条x到y的弧,则在R中有一条长度为i的弧.反之亦然. </p>
<p style="line-height: 150%" align="left" > </p>
<p style="line-height: 150%" align="left" ><b>定理4:</b> </p>
<p style="line-height: 150%" align="left" > 设 A 是个有穷集合，并且
|A|=n 和 n<img src="image/shuyu.gif" width="13" height="11">N，R
是 A 中的<a href="content-4-1-1.htm#content-4-1-1-eryuanguanxi">二元关系</a>，于是，必定存在这样的
m 和 t,能使 R<sup>m</sup>=R<sup>t</sup>
和 0<img src="image/xiaodeng.GIF" width="9" height="10" >m<t<img src="image/xiaodeng.GIF" width="9" height="10" ><img src="Image/2dende2.gif" width="17" height="16">。 </p>
<p style="line-height: 150%" align="left" >因为: </p>
<blockquote>
<p style="line-height: 150%" align="left" >|A|=n<br>
|A<img border="0" src="Image/cheng.gif" width="13" height="14">A|=<img border="0" src="Image/nde2.gif" width="14" height="14"><br>
|<img border="0" src="Image/lu.gif" width="10" height="10">(A<img border="0" src="Image/cheng.gif" width="13" height="14">A)|=<img border="0" src="Image/2dende2.gif" width="17" height="16"> </p>
<p style="line-height: 150%" align="left" >A上的二元关系最多有<img border="0" src="Image/2dende2.gif" width="17" height="16">种不同的形式. </p>
</blockquote>
<p style="line-height: 150%" align="left" > </p>
<p style="line-height: 150%" align="left" ><b>定理5:</b> </p>
<blockquote>
<p style="line-height: 150%" align="left" >设R是A上的二元关系,A是一个集合,如果存在i,j且i<j,使得R<sup>i</sup>=R<sup>j</sup>,则<br>
(1) 对所有的k<img border="0" src="Image/dadeng.gif" width="9" height="10">0,有R<sup>i+k</sup>=R<sup>j+k</sup><br>
(2) 对d=j-i,k<img border="0" src="Image/dadeng.gif" width="9" height="10">0,m<img border="0" src="Image/dadeng.gif" width="9" height="10">0,有R<sup>i+md+k</sup>=R<sup>i+k</sup><br>
(3) 设S={R<sup>0</sup>,R<sup>1</sup>,R<sup>2</sup>,……,R<sup>j-1</sup>},则R的任意次方幂均是S的元素,<br>
即,对<img border="0" src="Image/renyi.gif" width="9" height="11">n<img border="0" src="image/shuyu.gif" width="13" height="11">N,有R<sup>n</sup><img border="0" src="image/shuyu.gif" width="13" height="11">S. </p>
</blockquote>
<p style="line-height: 150%" align="left" ><b>证明:(略)</b> </p>
<p style="line-height: 150%" align="left" > </p>
<p style="line-height: 150%" align="left" > </p>
<p style="line-height: 150%" align="left" > </p>
<p style="line-height: 150%" align="left" > </p>
</td>
</tr>
</table>
<p style="line-height: 150%" align="center"> </p>
<p style="line-height: 150%"> </p><p align="right"><b><a href="contentFrame-mulu.htm"><<back</a></b>
</body>
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