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阿基米德的报复

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　　凯·麦肯齐是加拿大艾伯塔省韦格勒维尔镇的一位议员，当她谈论起计划在镇里的一片荒地上建造一个3层半楼高的复活节彩蛋时说：“这是我所想到的最好的主意。”该镇位于埃德蒙顿市以东55英里，是一个寂静的乡镇。荒地对面是一家私人疗养院，这里经常受到龙卷风的袭击。韦格勒维尔镇的5，000居民大部分是乌克兰人，但麦肯齐本人不是。他们仍然保持着油画《皮桑基》里的基督教复活节的2，000年老传统，用鲜艳的颜色给鸡蛋绘出复杂的图案。1974年，为了庆祝加拿大皇家骑警队成立100周年，加拿大政府决定拨专款筹办庆祝活动。为什么不做一个巨大的彩蛋呢？麦肯齐想。鸡蛋象征骑警队为世代居住在韦格勒维尔镇的乌克兰人带来和平与安全。<br><br>
　　起初，麦肯齐的镇公所的同事们认为这事很可笑，但她还是说服他们接受了做彩蛋这一建议。他们猜测，拨款委员会在审查无数项建议，如有马背上的骑警、仰首高歌的加拿大鹅和金黄色的枫叶等雕像之后，会接受这一独具匠心的提议的。事实上，提交的许多建议都极其普通，毫无希望。也有许多关于整修老建筑物的提议，就连挂在墙上颂扬骑警的徽章也是事后才提出的。最后，韦格勒维尔镇收到地方商会提供的15，000美元的专款，于是立即寻找制造彩蛋的人。<br><br>
　　镇领导邀请一位受人尊敬的本地建筑师来制造世界上最大的装饰彩蛋，他也认为这事太可笑。几个月后，镇领导又请来这位建筑师检查其工作进展。他报告说，他认为是在哄骗他，所以他什么工作也没有做。镇领导又请了另一位建筑师，他觉得更可笑。在与6家设计公司商谈之后，镇领导与罗纳德·戴尔·雷施先生取得联系，他35岁，是美国犹他大学计算机学科副教授。雷施回忆说：<br><br>
　　“起初，我也认为这事很可笑，但是，当他们最终交给我这项工作时，我有一年半的时间不再笑了。”<br><br>
　　雷施所面临的问题是，有史以来，除了鸡能产蛋之外，还没有任何人制作过蛋形物，而且生物学家也不十分清楚鸡是如何制造蛋的。根据可以信赖的《大不列颠百科全书》收载，鸡每年大约产蛋3，900亿次。但家鸡，要生成一个完整的蛋大约需要24小时，开始时在鸡卵巢中形成蛋黄（卵细胞），初期的鸡蛋黄开始进行漫长旅行，走走停停、缓慢地通过输卵管。输卵管是一条从卵巢通到产道的管形通道。最初，鸡蛋停止不动3个小时，吸收从输卵管壁细胞中分泌出来的白蛋白（蛋白）。而后鸡蛋前进到输卵管的某一段，在那里停留1个小时，接受卵膜，成为蛋壳的内膜。最后，鸡蛋移向子宫，在那里停留24小时，积聚白垩质堆积物，这些堆积物硬化后成为蛋壳。至此，鸡蛋总是以较细的一端在前移动，但是在其产出之前半小时，它会急速翻转，所以在产蛋时，鸡蛋是粗端先产出来的。<br><br>
　　最初，鸡蛋是液体结构。在没有外力作用时，它是圆球形的，这种形状与其他物体的接触面最少。设有一定量的液体，在所有可容纳此液体的形状中，球形的表面积最小。雕鸮与翠鸟所产的蛋实际上都是接近球形的，但是大多数鸟蛋都类似于鸡蛋，都是椭球形的，这是由于输卵管肌肉收缩挤压着把蛋向前推，从而改变了鸟蛋的球形形状。<br><br>
　　事实上，所有形状本质上都具有某种功能，无疑，即使科学至今尚未证实形状的具体功能是什么，而蛋的形状也不例外。也许，这与蛋类的滚动有关。如果鸡蛋都是球形的，那么它们容易滚走。某些海鸟，如栖居在北部海域的一种海雀——嘴又细又长的海鸠，所产的蛋比起鸡蛋来，更不像球形。海鸠蛋的形状很像一只陀螺，其动力学结构使之滚动时不会直线滚走，而是紧绕着环形滚动。与筑巢鸟相比，海鸠就像一个冒失鬼，它摈弃鸟巢，把陀螺形的鸟蛋直接产在海岸边光滑的悬崖边缘上，这是海鸠的幸运。<br><br>
　　鸡蛋和许多其他鸟蛋都是一端比另一端粗些，这就是说蛋类能够在巢内紧密地堆放在一起，可比球形蛋堆放得要多。美国伯洛伊特学院鸟类学家乔尔·卡尔·韦尔蒂写道：“如果双胸斑沙》鸻（北美鸻科鸟一种小水鸟，以其悲哀、尖刺的叫声而闻名）的巢里4个鸟蛋排放混乱的话，母鸟就会将其细端朝内重新排列好蛋，非常像一块块薄馅饼，这不仅使亲鸟能更好地覆盖鸟蛋，而且由于其密集的排列使鸟蛋从鸟体上得到的热量散失得比较缓慢。<br><br>
　　也许，蛋类的形状还有助于增加强度。它毕竟需要在巢亲鸟的体重压力下不至于破裂。我们已经知道蛋的大小与蛋壳的厚薄度，鸡蛋的强度是蛋中比较强的，但它还不是非常强的，还不能像传说中所说的，能在大力士手中纵向紧握挤压下幸存下来。也许这位神话中的大力士能把一本电话号码簿撕成两半，（传说中的鸟蛋强度已被最新的广告用来招徕顾客，广告图片描绘了一个C形铁钳钳住的没有破裂的鸡蛋。）实际上，你也不会是一个只用单手打破鸡蛋的男子汉；而我在6岁时就曾用一只小脏手打破过鸡蛋。可见，科学是进步了，但厨房的地板却一塌糊涂。<br><br>
　　雷施说道：“如果一位壮汉在鸡蛋表面上均匀施加压力，他将不能压破鸡蛋。这在理论上可能是正确的。然而实际上，没有一个人能够均匀地施加压力，总会在某点上大于另一点，因而鸡蛋就会破裂。在许多教科书中，人们总想说明，若在一大堆鸡蛋的上下铺些灰泥，大象站在上面，也不会压碎它们。这也只能说明任何一种结构的真实性：如果你能正确地施力，那么结构就能承受。而在现实世界中，却从来没有正确施力的。”<br><br>
　　对此，雷施考虑，怎样工作才能使他从理论上和在实际中都成为一位理想的制作复活节彩蛋的人，他可以从图纸上的设计中看到那个高达31英尺、重达2吨半、像纪念碑一样庞大的复活节彩蛋。雷施的生活中有一句简单的座右铭“志在四方”。有时，他会离开美国几个月，到印度去思考，有时，他会在大学或研究中心附近开设商店，并从事他的几何图形艺术和计算机图形学研究工作。然而在大部分时间内，他都是到处走动，受聘于那些在几何设计方面需要帮助解决各种棘手问题的人，如他在韦格勒维尔镇的朋友们。由于雷施在数学或工程方面没有经过正式的培训，因此他所依靠的主要不是分析方法，而是靠他头脑中形成几何抽象概念的能力，然后用他自己的双手（目前则是用他的计算机打印机），把这种思维的抽象概念转化成为物理实体。<br><br>
　　他曾为设在弗吉尼亚州的美国国家航空航天局的兰利研究中心设计过预制的航天飞机舱室组件。这些组件能够紧紧地装在运载它们进入太空的航天飞机载货架上，在太空展开后可以连接在一起，形成巨大的太空站结构。影片剧本《星际旅行》的制片人曾雇用他设计一种外星飞船的嘴；制片人告诉他，要把嘴设计成貌似器官而且具有高科技的特点，他终于设计出这种神秘太空飞船的技术嘴，能够在其飞行途中吞没一切东西，包括星际飞船“企业号”在内。他也为荷兰的一家多国包装设计联合大型企业——范利尔皇家包装工业公司设计出一种高效的装箱方法，可把类似苹果和李子等球形水果更多地装入条板箱内。<br><br>
　　找出一种最密集地堆积各种不同几何状物体的方法，是数学中一个古老的问题，它曾引起过许许多多的争论。例如 1694年，伊萨克·牛顿就曾与牛津的天文学家戴维·格列高里进行过关于球形问题的争论，所有一样大小的球形，能够与任何一个同样大小的球形接触，其最多数目是多少，格列高里说是13个，而牛顿却认为是12个。这个问题的讨论持续了180年，最后证明牛顿是正确的。<br><br>
　　在第十三个球形的周围放置12个球形，是已知的最密集堆积球形方法中的秘诀。设想在类似桌面般的平面上把一串球排成直线。接着，紧靠着第一行球放上另一行球，并使这行球落入另一行各球之间；于是任何一个球都会与另一行的两球接触。放上更多行球，直到整个桌面放满为止。增加第二行球，须使它们处于第一行各球之间的空隙处。然后在第二行球的空隙处放上球。使其形成第三行球。如果这种层层放球方式不受桌面限制，而是放满整个空间，那么球形会占该空间的74％。换句话说，需要浪费26％的空间。没有任何人知道是否还有更密集的堆积方法。<br><br>
　　当雷施开始为范利尔皇家包装工业公司考虑苹果和李子的包装工作时，他假设球形水果要装在长方形的条板箱内装运，那么它们须按这两种已知的最密集排列方法中的一种装箱。他按该方法着手进行了几个月，直到他突然想到，已知的最密集的堆积方法是数学上假定整个宇宙都充满着球形。但是，在现实世界中，他所涉及的只是一个很小的有限体积，一个3英尺×4英尺的条板箱。由于这种意识，他认为自己是能够解决这个问题的，但是他却得到了重要的经验教训：世界本身会给人以各种各样的约束，而这些约束是纸上谈兵式的推理所难以发现的。（雷施拒绝透露他的解决方法，因为尚未获得专利权。）<br><br>
　　雷施喜欢说的一句话是设计就是“设计师与环境之间的一种来回反馈”——这也是对他自己的事业所做的描述。雷施是在美国密苏里州的独立城长大的，他回顾了关于他参加专业体育的情况。<br><br>
　　在中学时，他曾是一位获得足球、篮球和田径运动3项荣誉证书的优秀运动员，但是当他在大学3年级时，体检时发现心脏有杂音，迫使他完全放弃了体育。“我的双手总是好的，”雷施说道。他不再把全部精力消耗在运动场上，而是把它引向艺术，特别是雕刻艺术，为此，他获得美国衣阿华大学的奖学金。<br><br>
　　昔日在衣阿华大学时，他曾学习过工业设计，并一直在那里读书，直到1966年获得了大学主修课目的学位。但是，由于他在工程方面没有经过技术训练，因此不能在工业方面得到一份工作。雷施回忆说：“各类公司无不对我加以非难，因为我未修任何一门数学课程。当时，人们认定我一钱不值，而我也无可奈何。然而，今天我觉得我应该辩白。我能够制作东西，不像学校正在造就的那些聪明的傻瓜，他们身为工程师，能够理解所有抽象化概念，但却不能制作螺母和螺栓。使我感到高兴的是，现代的几何图形的设计，是在物理学、化学和计算机科学领域学科做出重大成就的关键。”<br><br>
　　雷施的设计方法是采用一些基本的、最小的图形、同时探讨可以变换成为比较复杂结构的所有方法。“我已经从事一种职业，”雷施说道，“一种研究最简单的形式，即一张纸的职业。”并且探求以各种各样的方式弯曲和折叠一张纸时会出现什么样的形状。雷施接着说：“它不是折纸艺术，目的在于产生一种可以认识的形状。我所感兴趣的只足创造一种有规则的、积木式的形状。”而且，他已经这样做了——有些工作可以说是多余的。整整20多年，他已经把许多单片形式（纸张、铝箔和其他材料）变换成为可展示某种图案或规则结构的三维形式。他曾经在一些艺术陈列馆内展出许多较有意义的作品，而且他相信，沿着这条道路走下去，某些作品可以获得专利权，然而他不能证明，用单张纸折叠成为重复图案的所有可能的方法。<br><br>
　　雷施还说道：“我承接了制作复活节彩蛋的工程项目，因为我认为它不难。当时，我刚好用纸折成了圆顶形结构的图样。这种结构看来很像鸡蛋的一端，因此我认为，我可以制作出两个这样的圆顶形结构，并在它们之间放置一个鼓起的圆桶，再把三者连接在一起。”那么，它就会立即成为一个复活节彩蛋。雷施已经开发出一种计算机程序，可对折叠纸的结构进行模拟，因此他认为，只要稍加修正，它就可以模拟鸡蛋。雷施回忆说：“当我承接这项工作时，我曾以为，在人类历史上，一定有人研究过理想鸡蛋的数学。”他指望，通过对鸡蛋数学与他的几何学模拟加以比较，能够分析判断出这项模拟令人满意的程度。<br><br>
　　然而，雷施很快发现，在文献中没有关于鸡蛋的理想公式。对于许多已有名称的形状，文献中不仅含有代数式，而且还有作图的方法。以圆形为例，它很简单，是一平面上所有与该平面内某点等距离的各点集合。要作一个圆，可把一根细线的一端环绕系在一支铅笔上，另一端用图钉固定在一张纸上。绷紧细线，并使铅笔直立在纸上，环绕着图钉转动铅笔，结果就画出一圆形。在某一点上，扭转摆动甚至能使这个简单作图过程成为人们的笑料，在这个问题上，我曾从数学家马丁·加德纳那里听到：“妈妈，妈妈，为什么我总是绕着圆形走？”“闭嘴，孩子，不然我把你的另一只脚也钉死在地板上。”<br><br>
<img src=06-01.gif><br><br>
　　从圆形到球形则是很容易的一步，想象把孩子的一只脚（或者细线的一端）钉死在三维空间中的一点上，然后沿四面八方转动小孩挺直的身体（或者绷紧的细线端上的铅笔），观察小孩头部（或者铅笔尖）所画出轨迹的形状，换句话说，你可以把球形看成是急速旋转圆形所扫过的形状。<br><br>
　　当然，鸡蛋更接近于椭球形（它是急速旋转椭圆形所扫过的形状），而不是球形。即使是疯狂的数学家也不可能用快速旋转小孩的方法产生出一个椭圆形，但是，利用一支铅笔和一根用图钉固定其两端的松弛细线，就能很容易地画出椭圆形。<br><br>
<img src=06-02.gif><br><br>
　　鸡蛋不同于椭圆形，其一端比另一端粗些，但是，这种不对称性并不意味着它不能用数学式表示。的确，这要回溯到17世纪，法国学者雷内·笛卡尔（“我思故我在”）就曾探索过卵形曲线的代数式。两个世纪以后苏格兰的数学物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦，继续进行笛卡尔的工作，扩大了他的研究成果，麦克斯韦曾以他的定量证明电与磁属于同一种现象而出名。当时，麦克斯韦只有15岁，他曾向苏格兰早期科学协会——爱丁堡皇家学会递交一篇关于卵形的论文。论文是被热情接受了，但是，令人敬畏的学会却拒绝让这位小人物就这个论题向他们说教，从而错过了一个引人注目的场面，即用铅笔、细线、图钉并以小小的技巧就能画出卵形曲线图。<br><br>
　　雷施的主要问题是，虽然你曾见过一个鸡蛋，可是你却未曾见过所有的鸡蛋。鸡蛋在形状上都略有不同，他有责任辨明鸡蛋的理想形式。经过一个时期的挫折之后，他同农业部联系，并收到了一本鸡蛋分级手册。“我认为，”雷施说道，“手册里肯定有鸡蛋的定义。然而我发现，它全部是标明A、AA、B和BB的图片。最后，我终于归结出一个可似称为理想鸡蛋的形象。于是，我给它拍成照片，然后在我的计算机程序中把它数字化。”雷施和两名研究生昼夜工作了6个多月，想把折叠纸结构转变成为一个蛋形物。可是，所得到的结果都被否定了。“我们不知道错在哪里，是计算机程序有误呢，还是几何图形不对，或是数学计算出了差错？”<br><br>
<center><table border=0 width=80%><tr><td align=center><img src="06-03.gif" alt="类卵形的作图" border=0></a></td></tr>
<tr><td align=left><font color=#3399FF class=p4><center>类卵形的作图</center></font>
</td></tr></table><br></center>

　　将细长线的一端固定在B点上，然后两次环绕铅笔和一次环绕A点的图钉。最后把另一端系在铅笔上。绷紧细线，就可以画出卵形的上半部。而后倒转细线和铅笔组合，就可以画出卵形的下半部。<br><br>
　　雷施抛开他的计算机程序，把曾经为他很好地服务了20多年的折叠纸技术搁置一边，再整个从头开始。他的方案是，把复活节彩蛋处理成好像一种三维的拼图玩具，由许多平面砖以微小的角度变化连接在一起，拼成彩蛋，从理论上讲，拼图的平面砖可以有各种不同的构型，而达到预期的目的，然而，雷施所需要的不仅是数学上的解法。雷施所用的平面砖必须进行加工，出于经济上的考虑，重要的是那么多的平面砖在形状和大小上应尽可能地一样；那样就可以出自同一模子了。<br><br>
　　在二维中，用瓷砖拼成棋盘格子状，图形的平面完全由平面砖（直线形的）不重叠地覆盖着，这种图形历史悠久，而且丰富多采。早在3世纪时，亚历山德里亚的天文学家帕普斯就对蜂巢的几何结构感到惊奇，这种结构已被认为是蜜蜂在建造六角形（六边形）巢室时具有的“某种几何学上的深谋远虑”。在蜂巢中，由六角形镶嵌的平面可以节省蜂蜡，因为两个巢室可以共用一个巢壁。而且，帕普斯认为它的绝妙处还在于没有外来物质能够进入（蜂巢室）间隙中，从而不会弄脏（蜜蜂）酿出的蜜。帕普斯还观察到，除了正六角形之外，在正多边形中（所有边、角相等的直线图形），只有正方形和等边三角形可以角对角地贴面铺在平面上，然而，对于蜜蜂来说，六角形的优点，是因为它在一定的周长内能够包容最大的面积。换句话说，在这3种等边图形中，只有正六角形才能以最少的蜂蜡消耗装进最大数量的蜂蜜。<br><br>
　　我们容易相信，帕普斯并没有忽略任何一种可以在平面上贴砖的正多边形。关键条件是这些多边形能够排满一个顶点周围的空隙。要做到这一点，分别需要有6块正三角形面砖、4块正方形面砖和3块正六角形面砖。这3种多边形能够包围着一个顶点，是因为他们的内角（三角形为60°，正方形为90°和六角形为120°）能够除尽360°。其他的正多边形则不具有这种性质。例如正五边形，其内角为108°，所以在一个顶点周围铺贴3块正五角形面砖，平面上尚留有36°未能贴满。<br><br>
<center><table border=0 width=80%><tr><td align=center><img src="06-04.gif" alt="类卵形的作图" border=0></a></td></tr>
<tr><td align=left><font color=#3399FF class=p4><center>六角形蜂房的优点：在所有二维图形中，给予一定的周长后，圆形含有最大的面积。但是它不适合于蜜蜂的巢室，因为在各个圆形之间，将有许多空隙浪费掉。六角形的另一种优点则来自它们的共用邻边。6个外围的六角形可以产生一个“免费”的内六角形，因为内六角形的每边都是共用的，然而 6个外围圆形却不能产生一个“免费”的内圆形，因为这些圆形没有共用的圆周，所以内圆形必须另行绘出。由6个外围六角形的共用邻边所形成的“节约”，则更为微妙。6个外围六角形仅由5个六角形的周边长度构成。7个圆形是的的确确的7个圆形，而5个六角形实际上可以形成7个六角形。</center></font>
</td></tr></table><br></center>

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<center><table border=0 width=80%><tr><td align=center><img src="06-05.gif" alt="三种规则面砖的贴砖" border=0></a></td></tr>
<tr><td align=left><font color=#3399FF class=p4><center>三种规则面砖的贴砖</center></font>
</td></tr></table><br></center>
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　　如果放宽要求，那么可以在贴砖中使用一种以上的正多边形面砖，但所有的顶点都应该一致（即在顺序方面，贴在任何一个顶点周围的正多边形面砖都要与任何其他顶点一样），因而还可能有另外的8种贴砖方式。无论你是喜欢用数学的分析方法，或是喜欢从经验上的判断，既可以通过纸上谈兵式的分析，也可以通过对浴室地板花样的综合调查，你会相信，不可能还有其他的贴砖方式。<br><br>
　　到现在为止，我们所论述的贴砖方式全都是规律性的，它们都像壁纸那样，是重复的。每一种贴砖方式都含有一块“籽砖”，即贴砖中的最小单元，从总体上看，贴砖都是它的多次复制。如果你有一块籽砖的橡皮图章，那么你可以重复地使用它，只要上下或左右地移动，不需要转动它，就能做出整个贴面。在只由一种正多边形面砖（正三角形、正方形和正六角形）组成的3种贴砖方式中，籽砖显然是正多边形本身；蜂巢式的贴砖是由一个正六角形产生的。方形的贴砖是由一个正方形产生的，而三角形的贴砖则是由一个等边三角形产生的。荷兰艺术家 M.C.埃歇尔就是以他的规律性贴砖方式而著名，他的贴砖通常都不是正多边形，而是这类或那类的动物。<br><br>
<center><table border=0 width=80%><tr><td align=center><img src="06-06.gif" alt="贴砖的要求" border=0></a></td></tr>
<tr><td align=left><font color=#3399FF class=p4><center>贴砖的要求</center></font>
</td></tr></table><br></center>
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　　至于非规律性的贴砖方式，则不复杂。画出一张方形贴砖图。设想把每块方形面砖沿其对角线分为两个直角三角形。可以由你决定沿哪条对角线把每块方形面砖分开，但是所有方形面砖的分开方法则应使其直角三角形的整体贴砖方式形成非规律性的。这种非规律性的贴砖方式不能再简单了：它只由一种面砖——直角三角形面砖组成，而且，即使它不具有籽砖，从某种意义上讲，也仍然可以断定，三角形组成方形。<br><br>
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<center><table border=0 width=80%><tr><td align=center><img src="06-06.gif" alt="使用一种以上正多边形面砖的贴砖方法" border=0></a></td></tr>
<tr><td align=left><font color=#3399FF class=p4><center>使用一种以上正多边形面砖的贴砖方法</center></font>
</td></tr></table><br></center>
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　　无须费力，就能把这种非规律性贴砖方式中的直角三角形重新排列成为周期性贴砖。要做到这一点，一种简单的方法，就是在每两块面砖组成的方形贴砖中，把对角线从左上角到右下角的那些方形移动90度。这样就可使所有的对角线方向一致，而籽砖就成了组成任何方形贴砖的两块直角三角形面砖了。<br><br>
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<center><table border=0 width=80%><tr><td align=center><img src="06-07.gif" alt="非规律性贴砖方法" border=0></a></td></tr>
<tr><td align=left><font color=#3399FF class=p4><center>非规律性贴砖方法</center></font>
</td></tr></table><br></center>
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　　非规律性的贴砖方式也可以由任何数量的不同种类面砖贴成。这种数量上的不受限制，使得非规律性贴砖方式可供那些在几何图形上喜欢附庸风雅，希望浴室地板花样独特的人选用。要用两种面砖贴成非规律性贴砖，我们还得从方形面砖开始，然而，我们不是把它们沿对角线分开，而是在每块方形面砖的西北角或东南角刻出一条三角形刻痕。像前面一例的，我们选择的是没有图案的两角，而所有的刻痕则是同样尺寸的。其结果是非规律性贴砖方式都由直角三角形与不规则的五角形组成。而且，这些面砖也可重新排列成为规律性式样，比方说，把每一块东南角有三角形刻痕的面砖取出，并把它们转动180度。<br><br>
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<center><table border=0 width=80%><tr><td align=center><img src="06-09.gif" alt="规律性贴砖方法" border=0></a></td></tr>
<tr><td align=left><font color=#3399FF class=p4><center>规律性贴砖方法</center></font>
</td></tr></table><br></center>
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<center><table border=0 width=80%><tr><td align=center><img src="06-10.gif" alt="两种面砖的非规律性贴砖方法" border=0></a></td></tr>
<tr><td align=left><font color=#3399FF class=p4><center>两种面砖的非规律性贴砖方法</center></font>
</td></tr></table><br></center>
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<center><table border=0 width=80%><tr><td align=center><img src="06-11.gif" alt="面砖的规律性贴砖方法" border=0></a></td></tr>
<tr><td align=left><font color=#3399FF class=p4><center>面砖的规律性贴砖方法</center></font>