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\newtheorem{theorem}{Theorem}
\newtheorem{lemma}{Lemma}
\title{\vskip2mm{\Large\heiti  一类多线性积分算子的端点有界性}
 \thanks{由国家自然科学基金项目资助.}} 
 \author{\small  刘  岚 吉吉  \\
         \small 长沙理工大学数学系, 湖南长沙,410077 \\
        \small E-mail: [e-mail]}
\date{}
\begin{document} 
\maketitle 
\vskip1mm 
\par 
 {\small {\heiti 摘要:}\ 本文对一类相关于非卷积型算子的多线性算子, 证明了其在端点情形上的有界性, 该算子包括 
 Littlewood-Paley 算子和 Marcinkiewicz 算子.
 \par {\heiti 关键词:}\ 多线性算子; Littlewood-Paley 算子; Marcinkiewicz 算子; BMO 空间; Hardy 空间. 
 \par {\heiti MR(2000)主题分类:}\ 42B20, 42B25.
\par {\heiti 中图分类:} \ \ O174.3 
\vskip3mm
\begin{center}
  {\large\bf  Endpoint Boundedness for Some Multilinear Integral Operators}
\end{center}
\begin{center} LIU Lanzhe   \\
         College of Mathematics  \\
       Changsha University of Science and Technology \\
       Changsha 410077, P.R. of China \\
       E-mail:[e-mail] 
\end{center}
\vskip1mm
\par
 {\bf Abstract:}\ In this paper, we prove the endpoint boundedness for some multilinear operators related to certain
 non-convolution operators. The operators include Littlewood-Paley operator and Marcinkiewiecz operator.
\par
 {\bf Keywords:} Multilinear operator; Littlewood-Paley operator; Marcinkiewiecz operator; BMO space; Hardy space.
\par
  {\bf MR(1991) Subject Classification} \ \ 42B20, 42B25. 
\vskip3mm
\par\noindent
 {\heiti\bf 1. \ 引言}
\vskip1mm
\par
 设$T$ 为 Calder\'on-Zygmund 算子, 由Coifman, Rochberg 和 Weiss 得到的经典结果(见[1])说明交换子$[b,T](f)=bT(f)-T(bf)$ 
 (其中 $b\in BMO(R^n)$)在 $L^p(R^n)$($1<p<\infty$)上有界; Chanillo (见[2])对分数次积分算子$T$ 证明了类似的结果. 在文[3]中, 
 作者对该交换子证明了其端点有界性. 本文的主要目的就是对一类相关于非卷积型算子的多线性算子讨论其端点有界性. 事实上, 我们对
 满足一定尺寸条件的该多线性算子建立了其端点有界性. 作为应用, 我们对相关于 Littlewood-Paley 算子和Marcinkiewicz 算子的多线性
 算子证明了其端点有界性.
\vskip1mm 
\par\noindent
 {\heiti\bf 2. \ 预备知识}
\vskip1mm
\par
 本文中, $Q$ 表示 $R^n$ 中的方体. 给定方体 $Q$ 和局部可积函数$f$, 令$f(Q)=\int_Qf(x)dx$, $f_Q=|Q|^{-1}\int_Qf(x)dx$ 和 
 $f^{\#}(x)=\sup\limits_{x\in Q}|Q|^{-1}\int_Q|f(y)-f_Q|dy$; 称 $f$ 属于 $BMO(R^n)$, 若 $f^{\#} \in L^\infty(R^n)$, 且定义 
 $||f||_{BMO}=||f^{\#}||_{L^\infty}$. 我们也给出原子和 $H^1$ 空间的定义. 称函数 $a$ 为 $H^1$ 原子, 若存在方体 $Q$ 使得 
 supp $a\subset Q$, $||a||_{L^\infty}\le |Q|^{-1}$ 且 $\int_{R^n} a(x)dx=0$. 众所周知 $H^1(R^n)$ 具有原子分解特征(见[4]).
\par
 本文我们将考虑一类相关于非卷积型积分算子的多线性算子, 其定义如下. 
\par
 固定 $\delta>0$, 设 $m$ 为正整数, $A$ 为 $R^n$ 上的函数, 令
$$
 R_{m+1}(A;x,y)=A(x)-\sum_{|\alpha|\le m}\frac{1}{\alpha!}D^\alpha A(y)(x-y)^\alpha,
$$
$$
  Q_{m+1}(A;x,y)=R_m(A;x,y)-\sum_{|\alpha|=m}\frac{1}{\alpha!}D^\alpha A(x)(x-y)^\alpha.
$$
\par 
 {\heiti 定义.} \ \ 令 $\varepsilon>0$, $\psi$ 为固定的函数且满足下列条件: 
\par
    (1) \ \ $\int_{R^n} \psi (x)dx=0$,
\par
    (2) \ \ $|\psi(x)|\le C(1+|x|)^{-(n+1-\delta)}$,
\par
    (3) \ \ $|\psi(x+y)-\psi(x)|\le C|y|^\varepsilon(1+|x|)^{-(n+1+\varepsilon-\delta)}$ 当 $2|y|<|x|$.
\par
 定义多线性 Littlewood-Paley 算子为
$$
  g_\delta^A(f)(x)=\left(\int_0^\infty |F_t^A(f)(x)|^2\frac{dt}{t}\right)^{1/2},
$$ 
 其中
$$
 F_t^A(f)(x)=\int_{R^n}\frac{R_{m+1}(A;x,y)}{|x-y|^m}\psi_t(x-y)f(y)dy,
$$ 
 且 $\psi_t(x)=t^{-n+\delta}\psi(x/t)$ 对 $t>0$. 记 $F_t(f)=\psi_t\ast f$. 我们也定义
$$
  g_\delta(f)(x)=\left(\int_0^\infty |F_t(f)(x)|^2\frac{dt}{t}\right)^{1/2},
$$
 当 $\delta=0$ 时, 此即为 Littlewood-Paley $g$ 函数(见 [5]).
\par
 我们将在第3节证明下列定理.
\par
 {\heiti 定理.} \ \ 设 $0\le\delta<n$, $D^\alpha A\in BMO(R^n)$ 当 $|\alpha|=m$. 则
\par
   (i)\  $g_\delta^A$ 为从$L^{n/\delta}(R^n)$ 到 $BMO(R^n)$ 有界的;
\par
   (ii)\ $\tilde g_\delta^A$ 为从 $H^1(R^n)$ 到 $L^{n/(n-\delta)}(R^n)$ 有界的;
\par
   (iii)\ $g_\delta^A$ 为从 $H^1(R^n)$ 到弱 $L^{n/(n-\delta)}(R^n)$ 有界的;
\par
   (iv)\ 如对任意 $H^1$ 原子 $a$, supp$a \subset Q$ 和 $u\in 3Q\setminus 2Q$, 有
$$
 \int_{(4Q)^c}\left|\left|\sum_{|\alpha|=m}\frac{1}{\alpha!}\frac{(x-u)^\alpha}{|x-u|^m}\psi_t(x-u)\int_QD^\alpha A(y)a(y)dy\right|\right|^{n/(n-\delta)}dx\le C,
$$
 则 $g_\delta^A$ 为从 $H^1(R^n)$ 到 $L^{n/(n-\delta)}(R^n)$ 有界的;
\par
 (v)\ 如对任意方体 $Q$ 和 $u\in 3Q\setminus 2Q$, 有
$$
 \frac{1}{|Q|}\int_Q\left|\left|\sum_{|\alpha|=m}\frac{1}{\alpha!}(D^\alpha A(x)-(D^\alpha A)_Q)
 \int_{(4Q)^c}\frac{(u-y)^\alpha}{|u-y|^m}\psi_t(u-y)f(y)dy\right|\right|dx\le C||f||_{L^{n/\delta}},
$$
   则 $\tilde g_\delta^A$ 为从 $L^{n/\delta}(R^n)$ 到 $BMO(R^n)$ 有界的.
\vskip1mm 
\par\noindent
 {\heiti\bf 3. 主要定理及证明}
\vskip1mm 
\par
 欲证明定理, 我们需要下列引理.
\par
 {\heiti 引理.}\ \ 令 $0\le\delta<n$, $1<p<n/\delta$, $1/q=1/p-\delta/n$, $D^\alpha A\in BMO(R^n)$ 当 $|\alpha|=m$. 
  则 $g_\delta^A$ 和 $\mu_\delta^A$ 均为 $L^p(R^n)$ 到 $L^q(R^n)$ 有界的.
\par
{\heiti 证明.} \ \ 由 Minkowski 不等式, 得
\begin{eqnarray*}
 g_\delta^A (f)(x)&\le& \int_{R^n}\frac{|f(y)||R_{m+1}(A;x,y)|}{|x-y|^m}
     \left(\int_0^\infty|\psi_t(x-y)|^2\frac{dt}{t}\right)^{1/2}dy  \\
 &\le& C\int_{R^n}\frac{|f(y)||R_{m+1}(A;x,y)|}{|x-y|^m}\left(\int_0^\infty\frac{t^{-2n+2\delta}}
 {(1+|x-y|/t)^{2(n+1-\delta)}}\frac{dt}{t}\right)^{1/2}dy    \\
 &\le& C\int_{R^n}\frac{|R_{m+1}(A;x,y)|}{|x-y|^{m+n-\delta}}|f(y)|dy, \\
 \mu_\delta^A(f)(x)&\le& \int_{R^n}\frac{|\Omega(x-y)||R_{m+1}(A;x,y)|}
 {|x-y|^{m+n-1-\delta}}|f(y)|\left(\int_{|x-y|}^\infty\frac{dt}{t^3}\right)^{1/2}dy  \\
 &\le& C\int_{R^n}\frac{|R_{m+1}(A;x,y)|}{|x-y|^{m+n-\delta}}|f(y)|dy,
\end{eqnarray*}
 从而, 由文[19] 即得结论.
\par
 {\heiti 定理 的证明.}(i).\ \ 首先, 由引理 2 的证明, 知
$$
 g_\delta(f)(x)\le C\int_{R^n}\frac{|f(y)|}{|x-y|^{n-\delta}}dy, 
$$
 因此, 由文[2]知当 $1<p<n/\delta$, $1/q=1/p-\delta/n$ 时, $g_\delta$ 为 $(L^p, L^q)$ 有界的. 我们只须证明 $g_\delta$ 满足 
 \ {\heiti 主要定理} \ 的尺寸条件. 
 设 supp$f\subset(2Q)^c$, 令 $\tilde A(x)=A(x)-\sum\limits_{|\alpha|=m}\frac{1}{\alpha!}(D^\alpha A)_Qx^\alpha$. 记
\begin{eqnarray*}
 &\;& F_t^{\tilde A}(f)(x)-F_t^{\tilde A}(f)(x_0)=\int_{R^n}\left[\frac{\psi_t(x-y)}{|x-y|^m}-\frac{\psi_t(x_0-y)}{|x_0-y|^m}\right]R_m(\tilde A;x,y)f(y)dy    \\
 &\;& +\int_{R^n}\frac{\psi_t(x_0-y)f(y)}{|x_0-y|^m}[R_m(\tilde A; x, y)-R_m(\tilde A; x_0, y)]dy  \\
 &\;& -\sum_{|\alpha|=m}\frac{1}{\alpha!}\int_{R^n}\left(\frac{\psi_t(x-y)(x-y)^\alpha}{|x-y|^m}-\frac{\psi_t(x_0-y)(x_0-y)^\alpha}{|x_0-y|^m}\right)D^\alpha\tilde A(y)f(y)dy \\
 &:=& I_1+I_2+I_3.
\end{eqnarray*}
 注意到当 $x\in Q$ and $y\in R^n\setminus Q$时, $|x-y|\approx |x_0-y|$. 由引理 1 和下列不等式(见文[20])
$$
 |b_{Q_1}-b_{Q_2}|\le C\log(|Q_2|/|Q_1|)||b||_{BMO}\ \mbox{当} \ Q_1 \subset Q_2,
$$ 
 对 $x\in Q$, $y\in 2^{k+1}\tilde Q\setminus 2^k\tilde Q$, 有
$$
 |R_m(\tilde A;x,y)|\le C|x-y|^m\sum_{|\alpha|=m}(||D^\alpha A||_{BMO}+|(D^\alpha A)_{\tilde Q(x,y)}-(D^\alpha A)_{\tilde Q}|) 
 \le C k|x-y|^m\sum_{|\alpha|=m}||D^\alpha A||_{BMO}.
$$
 因此, 类似于引理2 的证明, 得
\begin{eqnarray*}
 ||I_1||&\le& C\int_{R^n\setminus \tilde Q}\left(\frac{|x-x_0|}{|x_0-y|^{m+n+1-\delta}}+\frac{|x-x_0|^\varepsilon}
 {|x_0-y|^{m+n+\varepsilon-\delta}}\right)|R_m(\tilde A; x,y)||f(y)|dy   \\
 &\le& C\sum_{|\alpha|=m}||D^\alpha A||_{BMO}\sum_{k=0}^\infty\int_{2^{k+1}\tilde Q\setminus2^k\tilde Q}k\left(\frac{|x-x_0|}
 {|x_0-y|^{n+1-\delta}}+\frac{|x-x_0|^\varepsilon}{|x_0-y|^{n+\varepsilon-\delta}}\right)|f(y)|dy    \\
 &\le& C\sum_{|\alpha|=m}||D^\alpha A||_{BMO}||f||_{L^{n/\delta}}\sum_{k=1}^\infty k(2^{-k}+2^{-\varepsilon k})
 \le C\sum_{|\alpha|=m}||D^\alpha A||_{BMO}||f||_{L^{n/\delta}}.
\end{eqnarray*}
 对 $I_2$, 由公式(见文[15]):
$$
 R_m(\tilde A; x, y)-R_m(\tilde A; x_0, y)=\sum_{|\beta|<m}\frac{1}{\beta!}R_{m-|\beta|}(D^\beta\tilde A; x, x_0)(x-y)^\beta
$$
 和引理 1, 有
$$
  |R_m(\tilde A; x, y)-R_m(\tilde A; x_0, y)|\le C\sum_{|\beta|<m}\sum_{|\alpha|=m}|x-x_0|^{m-|\beta|}|x-y|^{|\beta|}||D^\alpha A||_{BMO},
$$
 类似于$I_1$ 的估计, 得
$$
 ||I_2|| \le C\sum_{|\alpha|=m}||D^\alpha A||_{BMO}\sum_{k=0}^\infty\int_{2^{k+1}\tilde Q\setminus2^k\tilde Q}
 \frac{|x-x_0|}{|x_0-y|^{n+1-\delta}}|f(y)|dy\le C\sum_{|\alpha|=m}||D^\alpha A||_{BMO}||f||_{L^{n/\delta}}.
$$
 对 $I_3$, 类似于$I_1$ 的估计, 得
\begin{eqnarray*}
 ||I_3||&\le&C\sum_{|\alpha|=m}\sum_{k=0}^\infty\int_{2^{k+1}\tilde Q\setminus2^k\tilde Q}\left(\frac{|x-x_0|}
 {|x_0-y|^{n+1-\delta}}+\frac{|x-x_0|^\varepsilon}{|x_0-y|^{n+\varepsilon-\delta}}\right)|D^\alpha \tilde A(y)||f(y)|dy    \\
 &\le& C\sum_{|\alpha|=m}\sum_{k=1}^\infty (2^{-k}+2^{-\varepsilon k})\left(|2^k\tilde Q|^{-1}\int_{2^k\tilde Q}|D^\alpha A(y)
 -(D^\alpha A)_{\tilde Q}|^rdy\right)^{1/r}||f||_{L^{n/\delta}}   \\
 &\le& C\sum_{|\alpha|=m}||D^\alpha A||_{BMO}||f||_{L^{n/\delta}}.
\end{eqnarray*}
  因此
$$
  ||F_t^{\tilde A}(f_2)(x)-F_t^{\tilde A}(f_2)(x_0)||\le C\sum_{|\alpha|=m}||D^\alpha A||_{BMO}||f||_{L^{n/\delta}}.
$$
\par
 (ii).\ \ 只须证明存在常数 $C>0$, 使得对任意$H^1$ 原子 $a$, 有
$$
 ||\tilde g_\psi^A(a)||_{L^{n/(n-\delta)}} \le C. 
$$
 记
$$
 \int_{R^n}\tilde g_\delta^A(a)(x)dx=\left[\int_{2Q}+\int_{(2Q)^c}\right]\tilde g_\delta^A(a)(x)dx=J+JJ.
$$
 对 $J$, 由下列等式
$$  
 Q_{m+1}(A;x,y)=R_{m+1}(A;x,y)+\sum_{|\alpha|=m}\frac{1}{\alpha!}(x-y)^\alpha(D^\alpha A(x)-D^\alpha A(y)),
$$
 类似于引理 2 的证明, 有
$$
 \tilde g_\delta^A(a)(x)\le g_\delta^A(a)(x)+C\sum_{|\alpha|=m}\int_{R^n}\frac{|D^\alpha A(x)-D^\alpha A(y)|}{|x-y|^n}|a(y)|dy, 
$$