开平方.txt

用于单片机32bit内的快速开方（C51）

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            所属分类： 单片机应用 作者： 晓奇 更新日期：2004-4-14 22:34:21 阅读次数：3

            一个单片机开平方的快速算法


            因为工作的需要，要在单片机上实现开根号的操作。目前开平方的方法大部分是用牛顿
            迭代法。我在查了一些资料以后找到了一个比牛顿迭代法更加快速的方法。不敢独享，介
            绍给大家，希望会有些帮助。 
            1.原理 
            因为排版的原因，用pow(X,Y)表示X的Y次幂，用B[0]，B[1]，...，B[m-1]表示一个序列，
            其中[x]为下标。 
            假设： 
            B[x],b[x]都是二进制序列,取值0或1。 
            M = B[m-1]*pow(2,m-1) + B[m-2]*pow(2,m-2) + ... + B[1]*pow(2,1) + 
            B[0]*pow
            (2,0) 
            N = b[n-1]*pow(2,n-1) + b[n-2]*pow(2,n-2) + ... + b[1]*pow(2,1) + 
            n[0]*pow
            (2,0) 
            pow(N,2) = M 
            (1) N的最高位b[n-1]可以根据M的最高位B[m-1]直接求得。 
            设 m 已知,因为 pow(2, m-1) <= M <= pow(2, m)，所以 pow(2, (m-1)/2) <= N <= 
            pow(2, m/2) 
            如果 m 是奇数，设m=2*k+1, 
            那么 pow(2,k) <= N < pow(2, 1/2+k) < pow(2, k+1), 
            n-1=k, n=k+1=(m+1)/2 
            如果 m 是偶数，设m=2k, 
            那么 pow(2,k) > N >= pow(2, k-1/2) > pow(2, k-1), 
            n-1=k-1,n=k=m/2 
            所以b[n-1]完全由B[m-1]决定。 
            余数 M[1] = M - b[n-1]*pow(2, 2*n-2) 
            (2) N的次高位b[n-2]可以采用试探法来确定。 
            因为b[n-1]=1，假设b[n-2]=1，则 pow(b[n-1]*pow(2,n-1) + b[n-1]*pow(2,n-2), 
            2) = b[n-1]*pow(2,2*n-2) + (b[n-1]*pow(2,2*n-2) + 
            b[n-2]*pow(2,2*n-4)), 
            然后比较余数M[1]是否大于等于 (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4)。这种
            比较只须根据B[m-1]、B[m-2]、...、B[2*n-4]便可做出判断，其余低位不做比较。 
            若 M[1] >= (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4), 则假设有效，b[n-2] = 
            1； 
            余数 M[2] = M[1] - pow(pow(2,n-1)*b[n-1] + pow(2,n-2)*b[n-2], 2) = 
            M[1] - 
            (pow(2,2)+1)*pow(2,2*n-4)； 
            若 M[1] < (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4), 则假设无效，b[n-2] = 
            0；余数 M[2] = M[1]。 
            (3) 同理，可以从高位到低位逐位求出M的平方根N的各位。 
            使用这种算法计算32位数的平方根时最多只须比较16次，而且每次比较时不必把M的各位逐
            一比较，尤其是开始时比较的位数很少，所以消耗的时间远低于牛顿迭代法。 
            2. 流程图 
            (制作中，稍候再上) 
            3. 实现代码 
            这里给出实现32位无符号整数开方得到16位无符号整数的C语言代码。 
            -------------------------------------------------------------------------------
            -
            /****************************************/ 
            /*Function: 开根号处理 */ 
            /*入口参数：被开方数，长整型 */ 
            /*出口参数：开方结果，整型 */ 
            /****************************************/ 
            unsigned int sqrt_16(unsigned long M) 
            { 
            unsigned int N, i; 
            unsigned long tmp, ttp; // 结果、循环计数 
            if (M == 0) // 被开方数，开方结果也为0 
            return 0; 
            N = 0; 
            tmp = (M >> 30); // 获取最高位：B[m-1] 
            M <<= 2; 
            if (tmp > 1) // 最高位为1 
            { 
            N ++; // 结果当前位为1，否则为默认的0 
            tmp -= N; 
            } 
            for (i=15; i>0; i--) // 求剩余的15位 
            { 
            N <<= 1; // 左移一位 
            tmp <<= 2; 
            tmp += (M >> 30); // 假设 
            ttp = N; 
            ttp = (ttp<<1)+1; 
            M <<= 2; 
            if (tmp >= ttp) // 假设成立 
            { 
            tmp -= ttp; 
            N ++; 
            } 
            } 
            return N; 
            } 

            --------------------------------------------------------------------------------
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