📄 ds5.3.1.htm
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2<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">≤</font>col<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">≤</font>n</b></font></p>
<p><font size="5" color="#FFFFFF"><b><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">例如对于矩阵图</font>5.11<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">矩阵</font>A<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">的</font>num
<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">和</font>cpot<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">的值如下：</font></b></font></p>
<p><font size="5" color="#FFFFFF"><b><img border="0" src="ds5.3.13.gif" width="240" height="144"></b></font></p>
<p ALIGN="JUSTIFY"><font size="5" color="#FFFFFF"><b><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">
依次扫描</font>A.data<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">，当扫描到一个</font>col<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">列元素时，直接将其存放在</font>B.data<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">的</font>cpot[col]<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">位置上，</font>cpot[col]<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">加１，</font>cpot[col]<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">中始终是下一个</font>col<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">列元素在</font>B.data<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">中的位置。</font></b></font></p>
<p ALIGN="JUSTIFY"><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN" size="5" color="#FFFFFF"><b>下面按以上思路改进转置算法如下：</b></font></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>SPMatrix
* TransM2 (SPMatrix *A)</b></font></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>{SPMatrix
*B;</b></font></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><font size="5" color="#FFFFFF"><b> int
i,j,k;</b></font></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><font size="5" color="#FFFFFF"><b> int
num[n+1],cpot[n+1];</b></font></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><font size="5" color="#FFFFFF"><b> B=malloc(sizeof(SPMatrix));
/*<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">申请存储空间</font>*/</b></font></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><font size="5" color="#FFFFFF"><b> B->mu=A->nu;
B->nu=A->mu; B->tu=A->tu;<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN"> </font></b></font></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>
/*<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">稀疏矩阵的行、列、元素个数</font>*/</b></font></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><font size="5" color="#FFFFFF"><b> if
(B->tu>0)<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN"> </font>/*<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">有非零元素则转换</font>*/</b></font></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><font size="5" color="#FFFFFF"><b> {for(i=1;i<=A->nu;i++)
num[i]=0;</b></font></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><b><font size="5" color="#FFFFFF">
for(i=1;i<=A->tu;i++)/*</font><font color="#FFFFFF" size="4"><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">求矩阵</font>A<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">中每一列非零元素的个数</font></font><font size="5" color="#FFFFFF">*/</font></b></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>
{j= A->data[i].j;</b></font></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>
num[j]++;</b></font></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>
}</b></font></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><b><font size="5" color="#FFFFFF"><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN"> </font>cpot[1]=1;/*</font><font color="#FFFFFF" size="4"><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">求矩阵</font>A<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">中每一列第一个非零元素在</font>B.data<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">中的位置</font></font><font size="5" color="#FFFFFF">*/</font></b></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>
for (i=2;i<=A->nu;i++)</b></font></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>
cpot[i]= cpot[i-1]+num[i-1];</b></font></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>
for (i=1; i<= (A->tu); i++)<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN"> </font>/*<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">扫描三元组表</font>*/</b></font></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>
{j=A->data[i].j;<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN"> </font>/*<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">当前三元组的列号</font>*/</b></font></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>
k=cpot[j];<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN"> </font>/*<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">当前三元组在</font>B.data<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">中的位置</font>*/</b></font></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>
B->data[k].i= A->data[i].j ;</b></font></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>
B->data[k].j= A->data[i].i ;</b></font></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>
B->data[k].v= A->data[i].v;</b></font></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>
cpot[j]++;</b></font></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>
}/*for i */</b></font></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><font size="5" color="#FFFFFF"><b> }/*if
(B->tu>0)*/</b></font></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>return
B;<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN"> </font>/*<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">返回的是转置矩阵的指针</font>*/</b></font></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>}
/*TransM2*/</b></font></p>
<font SIZE="1">
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"> </p>
</font>
<p ALIGN="JUSTIFY"><font size="5" color="#FFFFFF"><b><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">算法</font>5.2<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN"> 稀疏矩阵转置的改进算法</font></b></font></p>
<font SIZE="1">
<p ALIGN="JUSTIFY"> </p>
</font>
<p><font size="5" color="#FFFFFF"><b><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">分析这个算法的时间复杂度：这个算法中有四个循环，分别执行</font>n<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">，</font>t<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">，</font>n-1<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">，</font>t<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">次，在每个循环中，每次迭代的时间是一常量，因此总的计算量是</font>O<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">（</font>n+t<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">）。当然它所需要的存储空间比前一个算法多了两个向量。</font></b></font></p>
<font FACE="oúì?,SimHei" LANG="ZH-CN">
<p ALIGN="JUSTIFY"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>2．稀疏矩阵的乘积</b></font></p>
</font>
<p ALIGN="JUSTIFY"><font size="5" color="#FFFFFF"><b><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">
已知稀疏矩阵</font>A(m<sub>1</sub>× n<sub>1</sub>)<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">和</font>B(m<sub>2</sub>×
n<sub>2</sub>)<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">，求乘积</font>C(m<sub>1</sub>×
n<sub>2</sub>)<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">。稀疏矩阵</font>A<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">、</font>B<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">、</font>C<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">及它们对应的三元组表</font>A.data<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">、</font>B.data<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">、</font>C.data<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">如图</font>5.16<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">所示。</font></b></font></p>
<p ALIGN="center"><img border="0" src="ds5.3.14.gif" width="440" height="334"></p>
<p ALIGN="JUSTIFY"><b><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN" size="5" color="#FFFFFF">由矩阵乘法规则知：</font></b></p>
<p ALIGN="JUSTIFY"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>C<font face="??ì?,SimSun" lang="ZH-CN">(</font>i<font face="??ì?,SimSun" lang="ZH-CN">,</font>j<font face="??ì?,SimSun" lang="ZH-CN">)</font>=A(i,1)<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">×</font>B(1,j)+A(i,2)<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">×</font>B(2,j)+…+A(i,n)<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">×</font>B(n,j)</b></font></p>
<p align="center"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>=</b></font><font SIZE="3"><img SRC="Image6.gif" WIDTH="151" HEIGHT="78" align="middle"></p>
</font>
<p ALIGN="JUSTIFY"><font color="#FFFFFF" size="5"><b><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">
这就是说只有</font>A(i,k)<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">与</font>B(k,p)<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">（即</font>A<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">元素的列与</font>B<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">元素的行相等的两项）才有相乘的机会，且当两项都不为零时，乘积中的这一项才不为零。</font></b></font></p>
<p><font color="#FFFFFF" size="5"><b><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">
矩阵用二维数组表示时，传统的矩阵乘法是：</font>A<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">的第一行与</font>B<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">的第一列对应相乘累加后得到</font>c<sub>11</sub><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">，</font>A<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">的第一行再与</font>B<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">的第二列对应相乘累加后得到</font>c<sub>12</sub><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">，</font>…<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">，因为现在按三元组表存储，三元组表是按行为主序存储的，在</font>B.data<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">中，同一行的非零元素其三元组是相邻存放的，同一列的非零元素其三元组并未相邻存放，因此在</font>B.data<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">中反复搜索某一列的元素是很费时的，因此改变一下求值的顺序，以求</font>c<sub>11</sub><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">和</font>c<sub>12</sub><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">为例，因为</font>
<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">：</font></b></font></p>
<p align="center"><font color="#FFFFFF" size="5"><b><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN"><img border="0" src="ds5.3.15.gif" width="411" height="136"></font></b></font></p>
<p ALIGN="JUSTIFY"><font size="5" color="#FFFFFF"><b><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">
即</font>a<sub>11</sub><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">只有可能和</font>B<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">中第</font>1<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">行的非零元素相乘，</font>a<sub>12</sub><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">只有可能和</font>B<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">中第</font>2<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">行的非零元素相乘，</font>…<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">，而同一行的非零元是相邻存放的，所以求</font>c<sub>11</sub><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">和</font>c<sub>12</sub><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">同时进行：求</font>a<sub>11</sub>*b<sub>11</sub><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">累加到</font>c<sub>11</sub><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">，求</font>a<sub>11</sub>*b<sub>12</sub><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">累加到</font>c<sub>12</sub><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">，再求</font>a<sub>12</sub>*b<sub>21</sub><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">累加到</font>c<sub>11</sub><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">，再求</font>a<sub>12</sub>*b<sub>22</sub><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">累加到</font>c<sub>22.</sub><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">，</font>…<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">，当然只有</font>a<sub>ik</sub><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">和</font>b<sub>kj</sub>(<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">列号与行号相等</font>)<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">且均不为零（三元组存在）时才相乘，并且累加到</font>c<sub>ij</sub><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">当中去。</font></b></font></p>
<p ALIGN="JUSTIFY"><font size="5" color="#FFFFFF"><b><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">
为了运算方便，设一个累加器：</font>datatype temp[n+1]<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">；用来存放当前行中</font>c<sub>ij</sub><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">的值，当前行中所有元素全部算出之后，再存放到</font>C.data<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">中去。</font></b></font></p>
<p ALIGN="JUSTIFY"><font size="5" color="#FFFFFF"><b><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">
为了便于</font>B.data<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">中寻找</font>B<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">中的第</font>k<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">行第一个非零元素，与前面类似，在此需引入</font>num<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">和</font>rpot<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">两个向量。</font>num[k]<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">表示矩阵</font>B<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">中第</font>k<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">行的非零元素的个数；</font>rpot[k]<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">表示第</font>k<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">行的第一个非零元素在</font>B.data<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">中的位置。于是有</font></b></font></p>
<p ALIGN="JUSTIFY"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>rpot[1]=1</b></font></p>
<p ALIGN="JUSTIFY"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>rpot[k]=rpot[k-1]+num[k-1]
2<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">≤</font>k<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">≤</font>n</b></font></p>
<p><font size="5" color="#FFFFFF"><b><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">例如</font>
<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">，对于矩阵</font>B<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">的</font>num<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">和</font>rpot<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">如图</font>5.17<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">所示。</font></b></font></p>
<p align="center"><img border="0" src="ds5.3.16.gif" width="240" height="144"></p>
<p ALIGN="JUSTIFY"><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN" size="5" color="#FFFFFF"><b>
根据以上分析，稀疏矩阵的乘法运算的粗略步骤如下：</b></font></p>
<p ALIGN="JUSTIFY"><font size="5" color="#FFFFFF"><b><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">⑴初始化。清理一些单元，准备按行顺序存放乘积矩阵</font>;</b></font></p>
<p ALIGN="JUSTIFY"><font size="5" color="#FFFFFF"><b><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">⑵求</font>B<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">的</font>num<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">，</font>rpot;</b></font></p>
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