📄 ds5.3.1.htm
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<title>数 据 结 构</title>
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<!--mstheme--><font face="宋体"><p:colorscheme
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<p ALIGN="center"><b><font size="6" color="#FFFF00">5.3.1<font FACE="Arial">
</font><font FACE="oúì?,SimHei" LANG="ZH-CN">稀疏矩阵的三元组表存储</font></font></b></p>
<p ALIGN="JUSTIFY"><font size="5" color="#FFFFFF"><b><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">
将三元组按行优先的顺序，同一行中列号从小到大的规律排列成一个线性表，称为三元组表，采用顺序存储方法存储该表。如图</font>5.11<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">稀疏矩阵对应的三元组表为图</font>5.12<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">。</font></b></font></p>
<p><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN" size="5" color="#FFFFFF"><b>
显然，要唯一的表示一个稀疏矩阵，还需要存储三元组表的同时存储该矩阵的行、列，为了运算方便，矩阵的非零元素的个数也同时存储。这种存储的思想实现如下：</b></font></p>
<p><font size="5" color="#FFFFFF"><b><img border="0" src="ds5.3.11.gif" width="426" height="226"></b></font></p>
<p ALIGN="JUSTIFY"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>define SMAX 1024 /*<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">一个足够大的数</font>*/</b></font></p>
<p ALIGN="JUSTIFY"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>typedef struct</b></font></p>
<p ALIGN="JUSTIFY"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>{ int i,j; /*<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">非零元素的行、列</font>*/</b></font></p>
<p ALIGN="JUSTIFY"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>datatype v; /*<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">非零元素值</font>*/</b></font></p>
<p ALIGN="JUSTIFY"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>}SPNode; /*<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">三元组类型</font>*/</b></font></p>
<p ALIGN="JUSTIFY"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>typedef struct</b></font></p>
<p ALIGN="JUSTIFY"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>{ int mu,nu,tu; /*<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">矩阵的行、列及非零元素的个数</font>*/</b></font></p>
<p ALIGN="JUSTIFY"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>SPNode data[SMAX]; /*<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">三元组表</font>*/</b></font></p>
<p><font size="5" color="#FFFFFF"><b>} SPMatrix; /*<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">三元组表的存储类型</font>*/</b></font></p>
<p ALIGN="JUSTIFY"><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN" size="5" color="#FFFFFF"><b>这样的存储方法确实节约了存储空间，但矩阵的运算从算法上可能变的复杂些。下面我们讨论这种存储方式下的稀疏矩阵的两种运算：转置和相乘。</b></font></p>
<!--mstheme--></font>
<!--msthemelist--><table border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%">
<font FACE="oúì?,SimHei" LANG="ZH-CN">
<!--msthemelist--><tr>
<!--msthemelist--><td valign="baseline" width="42"><img src="expbul1a.gif" width="15" height="15" hspace="13"></td>
<td valign="top" width="100%"><!--mstheme--><font face="宋体"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>稀疏矩阵的转置</b></font><!--mstheme--></font><!--msthemelist--></td>
</tr>
<!--msthemelist--></table>
<!--mstheme--><font face="宋体"></font>
<p ALIGN="JUSTIFY"><font size="5" color="#FFFFFF"><b><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">
设</font>SPMatrix A; <font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">表示一</font>m*n<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">的稀疏矩阵，其转置</font>B<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">则是一个</font>n*m<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">的稀疏矩阵，因此也有</font>
SPMatrix B; <font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">由</font>A<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">求</font>B<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">需要：</font></b></font></p>
<ol>
<li>
<p ALIGN="JUSTIFY"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>A<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">的行、列转化成</font>B<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">的列、行；</font></b></font></li>
<li>
<p ALIGN="JUSTIFY"><font size="5" color="#FFFFFF"><b><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">将</font>A.data<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">中每一三元组的行列交换后转化到</font>B.data<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">中；</font></b></font></li>
</ol>
<p ALIGN="JUSTIFY"><font size="5" color="#FFFFFF"><b><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">
看上去以上两点完成之后，似乎完成了</font>B<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">，没有。因为我们前面规定三元组的是按一行一行且每行中的元素是按列号从小到大的规律顺序存放的，因此</font>B<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">也必须按此规律实现，</font>A<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">的转置</font>B<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">如图</font>5.13<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">所示，图</font>5.14<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">是它对应的三元组存储，就是说，在</font>A<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">的三元组存储基础上得到</font>B<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">的三元组表存储（为了运算方便，矩阵的行列都从</font>1<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">算起，三元组表</font>data<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">也从</font>1<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">单元用起）。</font></b></font></p>
<p ALIGN="JUSTIFY"><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN" size="5" color="#FFFFFF"><b>算法思路：</b></font></p>
<p ALIGN="JUSTIFY"><font size="5" color="#FFFFFF"><b><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">①</font>A<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">的行、列转化成</font>B<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">的列、行；</font></b></font></p>
<p><font size="5" color="#FFFFFF"><b><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">②在</font>A.data<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">中依次找第一列的、第二列的、直到最后一列，并将找到的每个三元组的行、列交换后顺序存储到</font>B.data<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">中即可。</font></b></font></p>
<p><font size="5" color="#FFFFFF"><b><img border="0" src="ds5.3.12.gif" width="419" height="230"></b></font></p>
<p ALIGN="JUSTIFY"><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN" size="5" color="#FFFFFF"><b>算法如下：</b></font></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>void
TransM1 (SPMatrix *A)</b></font></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>{SPMatrix
*B;</b></font></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><font size="5" color="#FFFFFF"><b> int
p,q,col;</b></font></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><font size="5" color="#FFFFFF"><b> B=malloc(sizeof(SPMatrix));
/*<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">申请存储空间</font>*/</b></font></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><font size="5" color="#FFFFFF"><b> B->mu=A->nu;
B->nu=A->mu; B->tu=A->tu;<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN"> </font></b></font></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>
/*<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">稀疏矩阵的行、列、元素个数</font>*/</b></font></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><font size="5" color="#FFFFFF"><b> if
(B->tu>0)<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN"> </font>/*<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">有非零元素则转换</font>*/</b></font></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><font size="5" color="#FFFFFF"><b> {q=0;<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN"> </font></b></font></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>
for (col=1; col<=(A->nu); col++)/*<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">按</font>A<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">的列序转换</font>*/</b></font></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>
for (p=1; p<= (A->tu); p++)/*<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">扫描整个三元组表</font>*/</b></font></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>
if (A->data[p].j==col )<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN"> </font></b></font></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>
{B->data[q].i= A->data[p].j ;</b></font></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>
B->data[q].j= A->data[p].i ;</b></font></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>
B->data[q].v= A->data[p].v;</b></font></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>
q++; </b></font></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>
}/*if*/</b></font></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>
}/*if(B->tu>0)*/</b></font></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><font size="5" color="#FFFFFF"><b> return
B;<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN"> </font>/*<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">返回的是转置矩阵的指针</font>*/</b></font></p>
<p ALIGN="justify" style="margin-top: 0; margin-bottom: 0"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>}
/*TransM1*/</b></font></p>
<p><font size="5" color="#FFFFFF"><b><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">算法</font>5.1<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN"> 稀疏矩阵转置</font></b></font></p>
<p ALIGN="JUSTIFY"><font size="5" color="#FFFFFF"><b><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">
分析该算法，其时间主要耗费在</font>col<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">和</font>p<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">的二重循环上，所以时间复杂性为</font>O(n*t)<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">，</font>(<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">设</font>m<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">、</font>n<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">是原矩阵的行、列，</font>t<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">是稀疏矩阵的非零元素个数</font>)<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">，显然当非零元素的个数</font>t<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">和</font>m*n<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">同数量级时，算法的时间复杂度为</font>O(m*n<sup>2</sup>)<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">，和通常存储方式下矩阵转置算法相比，可能节约了一定量的存储空间，但算法的时间性能更差一些。</font></b></font></p>
<p ALIGN="JUSTIFY"> <b><font size="5" color="#FFFFFF"><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">算法</font>5.1<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">的效率低的原因是算法要从</font>A<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">的三元组表中寻找第一列、第二列、</font>…<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">，要反复搜索</font>A<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">表，若能直接确定</font>A<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">中每一三元组在</font>B<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">中的位置，则对</font>A<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">的三元组表扫描一次即可。这是可以做到的，因为</font>A<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">中第一列的第一个非零元素一定存储在</font>B.data[1]<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">，如果还知道第一列的非零元素的个数，那么第二列的第一个非零元素在</font>B.data<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">中的位置便等于第一列的第一个非零元素在</font>B.data<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">中的位置加上第一列的非零元素的个数，如此类推，因为</font>A<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">中三元组的存放顺序是先行后列，对同一行来说，必定先遇到列号小的元素，这样只需扫描一遍</font>A.data<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">即可。</font></font></b></p>
<font SIZE="3">
<p ALIGN="JUSTIFY"></font><font size="5" color="#FFFFFF"><b><font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">
根据这个想法，需引入两个向量来实现</font> <font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">：</font>num[n+1]<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">和</font>cpot[n+1]<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">，</font>num[col]<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">表示矩阵</font>A<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">中第</font>col<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">列的非零元素的个数（为了方便均从</font>1<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">单元用起），</font>cpot<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">［</font>col<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">］初始值表示矩阵</font>A<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">中的第</font>col<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">列的第一个非零元素在</font>B.data<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">中的位置。于是</font>cpot<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">的初始值为：</font></b></font></p>
<p ALIGN="JUSTIFY"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>cpot[1]=1<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">；</font></b></font></p>
<p ALIGN="JUSTIFY"><font size="5" color="#FFFFFF"><b>cpot[col]=cpot[col-1]+num[col-1]<font FACE="??ì?,SimSun" LANG="ZH-CN">；</font>
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