visual c++常微分方程初值问题求解1.htm
来自「Visual C++常微分方程解法（转载）」· HTM 代码 · 共 327 行 · 第 1/2 页
HTM
327 行
<TR>
<TD>xI（各分点）</TD>
<TD>yI （数值解）</TD>
<TD>y(xi) （真实值）</TD>
<TD>| y(xi)- yI | (误差)</TD></TR>
<TR>
<TD>0.0</TD>
<TD>1.000000</TD>
<TD>1.000000</TD>
<TD>0.000000</TD></TR>
<TR>
<TD>0.1</TD>
<TD>1.000000 </TD>
<TD>1.004837</TD>
<TD>0.004837</TD></TR>
<TR>
<TD>0.2 </TD>
<TD>1.010000 </TD>
<TD>1.018731</TD>
<TD>0.008731</TD></TR>
<TR>
<TD>0.3</TD>
<TD>1.029000 </TD>
<TD>1.040818</TD>
<TD>0.011818</TD></TR>
<TR>
<TD>0.4</TD>
<TD>1.056100 </TD>
<TD>1.070320 </TD>
<TD>0.014220</TD></TR>
<TR>
<TD>0.5 </TD>
<TD>1.090490</TD>
<TD>1.106531 </TD>
<TD>0.016041</TD></TR></TBODY></TABLE><BR> 虽然从实验结果看误差不算太大，但这仅仅是一个用于实验的非常简单的常微分方程，对于实际工程中应用的结构复杂的方程其求解结果的误差要远比此大的多，由于还存在着局部截断误差和整体截断误差，有必要采取措施来抑制、减少误差，尽量使结果精确。在构造欧拉公式时采取的一个重要步骤--用向前差商来代替导数，如将其改为向后差商也是行的通的。此时的欧拉公式就变成了：yI+1=
yI+h*f(xI+1,yI+1)，由于该式是一个隐式公式，所以可用迭代法进行计算，直至获取到满足精度要求的yI+1。从数学上可以证明，该式的局部截断误差和前面的欧拉公式的截断误差在主部上之相差正负号，所以只要将显示和隐式的两个欧拉公式相加后再行求解会大大减少误差。可以解得改进后的欧拉公式的表达式为：<BR><BR> yI+1=
yI+h*(f(xI, yI)+f(xI+1,
yI+hf(xI,yI)))/2<BR><BR> 对此式进行编程，就要比前面的代码要麻烦些，需要分步对其进行计算，以达到最高的运算效率，减少运算量：<BR><BR>
<TABLE width="100%" bgColor=#ffffff>
<TBODY>
<TR>
<TD>……<BR>for(float
x=0;x<0.6;x+=0.1)<BR>{<BR>r=x+expf(-x);<BR>T1=y[i]+0.1*(x-y[i]+1);
file://分步进行计算<BR>T2=y[i]+0.1*((x+0.1)-T1+1);<BR>y[i+1]=(T1+T2)/2;<BR>r=fabs(r-y[i]);<BR>str.Format("y[%d]=%f
r=%f\r\n",i,y[i],r);<BR>i++;<BR>msg+=str;<BR>}<BR>AfxMessageBox(msg);</TD></TR></TBODY></TABLE><BR> 从下表得出的实验数据可以看出，这种经过改进的欧拉算法所存在的误差已大为减少，可以直接单独应用于实际的工程计算。误差的减少主要是由于先利用了欧拉公式对yI+1的值进行了预估，然后又利用梯形公式对预估值作了校正，从而在预估--校正的过程中减少了误差。<BR><BR>
<TABLE cellSpacing=0 width=600 border=1>
<TBODY>
<TR>
<TD height=18>xI（各分点）</TD>
<TD height=18>yI （数值解）</TD>
<TD height=18>y(xi) （真实值）</TD>
<TD height=18>| y(xi)- yI | (误差)</TD></TR>
<TR>
<TD>0.0 </TD>
<TD>1.000000</TD>
<TD>1.000000</TD>
<TD>0.000000</TD></TR>
<TR>
<TD>0.1 </TD>
<TD>1.005000 </TD>
<TD>1.004837</TD>
<TD>0.000163</TD></TR>
<TR>
<TD>0.2 </TD>
<TD>1.019025</TD>
<TD>1.018731</TD>
<TD>0.000294</TD></TR>
<TR>
<TD>0.3 </TD>
<TD>1.041218 </TD>
<TD>1.040818 </TD>
<TD>0.000400</TD></TR>
<TR>
<TD>0.4 </TD>
<TD>1.070802 </TD>
<TD>1.070320 </TD>
<TD>0.000482</TD></TR>
<TR>
<TD>0.5</TD>
<TD>1.107076 </TD>
<TD>1.106531</TD>
<TD>0.000545</TD></TR></TBODY></TABLE><BR></SPAN>
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<TR>
<TD>
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color=#000000>感谢访问天极网，如果您觉得该文章涉及版权问题，请看这里！</FONT></A><BR><BR></TD></TR></TBODY></TABLE></TD></TR></TBODY></TABLE>
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