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href="file:///E:/clustering/complex/down2top/ee.htm">演化经济学</A></TD></TR>
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href="file:///E:/clustering/complex/top2down.htm">Top 2
Down</A></TD></TR>
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href="file:///E:/clustering/complex/top2down/ai.htm">人工智能</A></TD></TR>
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href="file:///E:/clustering/complex/top2down/es.htm">专家系统</A></TD></TR>
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href="file:///E:/clustering/complex/top2down/ssdss.htm">SSDSS</A></TD></TR>
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href="file:///E:/clustering/complex/top2down/dm.htm">数据挖掘</A></TD></TR>
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href="file:///E:/clustering/complex/top2down/ml.htm">机器学习</A></TD></TR>
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href="file:///E:/clustering/complex/top2down/feec.htm">FEEC</A></TD></TR>
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href="file:///E:/clustering/return/intro.htm"><IMG
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href="file:///E:/clustering/complex/nonlinear.htm">非线性系统</A></TD></TR>
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href="file:///E:/clustering/complex/nonlinear/whatischoas.htm">混沌</A></TD></TR>
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href="file:///E:/clustering/complex/nonlinear/dissipation.htm">耗散结构论</A></TD></TR>
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href="file:///E:/clustering/complex/nonlinear/synergetics.htm">协同学</A></TD></TR>
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href="file:///E:/clustering/complex/nonlinear/catastrophe.htm">突变论</A></TD></TR></TBODY></TABLE></TD></TR>
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<TR>
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<DIV align=left>复杂系统->Down 2
Top->分形世界->出水芙蓉</DIV></TD>
<TD> </TD></TR></TBODY></TABLE><!-- #EndEditable --></TD></TR>
<TR>
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<TABLE height=73 cellSpacing=1 cellPadding=1 width="98%"
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<TBODY>
<TR>
<TD height=71><!-- #BeginEditable "content" -->
<P align=center><STRONG>出水芙蓉</STRONG></P>
<P align=center>---随机函数跌代系统展示</P>
<P align=center>作者：Keats</P>
<TABLE width="100%" border=0>
<TBODY>
<TR>
<TD>
<TABLE borderColor=#000000 height=400 width=302
border=1>
<TBODY>
<TR>
<TD><IFRAME align=top|left marginWidth=0
marginHeight=0 src="fractal/ifs/leaf.html"
frameBorder=0 width="100%" scrolling=no
height="100%">
</IFRAME></TD></TR></TBODY></TABLE></TD>
<TD vAlign=top>
<P><STRONG>程序运行说明</STRONG>：</P>
<P>首先要保证你的浏览器支持java
applet，然后能够正确加载这个程序。在此前提下，按开始按钮，你会看到一片叶子慢慢的呈现在你的眼前。选择右面的选择框，你可以变换不同的图形，总之，开始是一些奇妙的点乱七八糟的点到屏幕上，但是慢慢的，点多了，规规矩矩的图形就会慢慢的呈现出来了。就好像一朵花隐藏在水中，慢慢的，水落下去了，花就展现在你的面前！因此给这个程序命名为出水芙蓉（当然，这里用的是出水芙蓉的本意而非引申意）</P>
<P>点击设置按钮，你可以设定一些参数。“出水芙蓉”的画图原理是函数跌代系统，也就是根据几个变换规则生成图形。因此，你可以改变每个规则的参数。点击制定规则按钮可以编辑单个的规则，并且在图形中直观的看出图形变换是怎样完成的。</P>
<P>在底下有关于图形的操作，你可以拖放平移整个图形，也可以就整个图形进行缩放，从而达到最佳的观察效果。</P>
<P> </P></TD></TR></TBODY></TABLE>
<P align=left><STRONG>原理：</STRONG></P>
<P> 这是一种绘制分形图的方法，即所谓的随机函数跌代系统。具体说明在程序里有。简单的讲，图形的生成受几条简单规则的制约，每种规则都是一个仿射变换。什么是仿射变换？不严格的讲，就是一种照哈哈镜的变换。我们知道，对一个平面图形可以施加旋转、平移、缩放的变换，一般来讲，这种变换都可以用坐标变换的方式写出来：</P>
<P align=center>x'=ax+by+c<BR>y'=dx+ey+f</P>
<P
align=left> 这其中，a,b,c,d,e,f都是系数，x,y为图形原来的坐标，x',y'为经过变换得到的新坐标。不同的系数会对图形进行不同的变换，包括平移、旋转、缩放，如果x方向和y方向的缩放比例不一样，那么就会对图形产生某种扭曲，因此，总体上来讲，这种对图形的变换就象是照哈哈镜一样。</P>
<P
align=left> 对一个图形进行一组（即多个）这样的变换，并且，让计算机以一定的概率选择这些规则。那么就能产生我们看到的分形图。这似乎有些神奇。为什么变换就能产生分形图呢？让我们以“金字塔”为例进行说明。</P>
<P align=center><IMG height=100 src="出水芙蓉.files/ifs.gif"
width=300></P>
<P
align=left> 考虑上面的三角形，从左边的大三角形变成右边的三个小三角形，显然，这是受三条规则同时制约的，考虑规则1。它是先把大三角形缩小一半（假设以大三角形的左下角为原点坐标），然后再往上平移一半，往右平移sqrt(3)/4，sqrt(3)表示根号3。因此，规则1就可以写为：</P>
<P align=center>x'=0.5x+sqrt(3)/4<BR>y'=0.5y+1/2</P>
<P
align=left> 另外的两条规则也可以写成这样的形式。接下来，我们就要接着对三个小三角进行变形。考虑最上面的小三角，我们应用规则1变换，即先缩小一半，然后再平移，这跟在上一步中把大三角形运用规则1的效果是一样的，对其它两个小三角形运用规则1我们就能得到下面的图：</P>
<P align=center><IMG height=87 src="出水芙蓉.files/ifs2.gif"
width=84></P>
<P
align=left> 运用规则2、3我们能得到类似的结论。因此，当考虑跌代几百步甚至上千步的时候，程序中的金字塔就会出现了。<BR>
当然，我们上面讲的是对开始的大三角形运用三条规则。如果对任意一个平面上的点会怎样呢？实际上，经过足够多跌代以后，最终的图形仍然是“金字塔”，这是因为金字塔是图形变换的极限。至于程序中为什么金字塔是逐渐浮现出来的，这要源于我们在跌代的过程中随机的选择规则了。程序是对平面上的任意一点比如(0,0)随机的选择一条规则进行运算变换得到点x1,y1画出来，然后再随机选择一条规则对x1,y1进行变换得到x2,y2画出来，……。最后所有这些点组成的图形，也就是最后呈现出来的你看到的金字塔。当然，由于程序中的坐标系原点是在左上角，因此系数跟我们刚才讲的不一样，而且并且我们为了能充满屏幕，金字塔略胖了一些。</P>
<P
align=left> 其它的诸如树叶、山等图形也是用同样的道理画出来的，只不过它们的变换规则中的系数不一样。</P>
<P align=left>源程序下载：<A
href="file:///E:/clustering/thesis/program/java_ifs.zip">java_ifs.zip</A></P>
<P align=left>有关分形的其他文章：</P>
<P align=center><A
onclick="return js_callpage(this.href);"
href="file:///E:/clustering/complex/down2top/fractal/intro.htm">奇异世界之旅</A></P>
<P>相关的论文及程序：</P>
<TABLE borderColor=#3366ff height=200 width="100%"
border=1>
<TBODY>
<TR>
<TD><IFRAME align=top|left marginWidth=0
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<TABLE cellSpacing=0 cellPadding=0 width="100%" border=0>
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<TR>
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height=21> </TD></TR></TBODY></TABLE><IFRAME align=top|left marginWidth=0
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<TBODY></TBODY></TABLE><!-- InstanceEnd --></BODY></HTML>
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