八数码有无解的判断.txt

我做的的八数码游戏！！学人工智能的用vc编写的

我知道什么样的情况有解,什么情况没解.
函数f(s)表示s前比s小的数字的数目.
例如:
|1 3 4|
|2 8 6|
|5 7  |
表示成:
|1 3 4|2 8 6|5 7 X| 则f(7)=6, f(5)=4,f(6)=4,f(8)=4,f(2)=1,
f(4)=2,f(3)=1,f(1)=0
当f(a8)+f(a7)+……+f(a1)为偶数时才能重排成
所以嘛,上面那个有解的.
下面我就来证明一下.



设任意一种情况:
|a1 a2 a3|
|a4 a5 a6|
|a7 a8 X |  (X表示空格)

将之放在一行上: |a1 a2 a3|a4 a5 a6|a7 a8 X |
数字的上下移动可以相对于是空格的上下移动.
所以我们只要讨论X的移动了:

假设函数f(s)表示s前比s小的数字的数目.
例如:|1 3 4|2 8 6|5 7 X| 则f(7)=6, f(5)=4, f(8)=4,……

对于X在同一行中的移动，f(a8)+f(a7)+……+f(a1)大小不变(*1)
如：|a1 a2 a3|a4 a5 a6|a7 a8 X |=>|a1 a2 a3|a4 a5 a6|a7 X a8|

对于X在列中移动是，我们不妨设X与a6对换(即a6下移一格)
则数列变为|a1 a2 a3|a4 a5 X|a7 a8 a6|,可能引起变化的f(s)只有f(a6),f(a7),f(a8)
讨论：有4种情况1)  a6<a7, a6<a8
                  f(a8) 减小1  
                  f(a7) 减小1  
                  f(a6) 不变
                  所以f(a8)+f(a7)+……+f(a1)奇偶性不变.
               2)  a6<a7, a6>a8
                  f(a8) 不变  
                  f(a7) 减小1  
                  f(a6) 增大1
                  所以f(a8)+f(a7)+……+f(a1)奇偶性不变.
               3)  a6>a7, a6>a8
                  f(a8) 不变  
                  f(a7) 不变  
                  f(a6) 增大2
                  所以f(a8)+f(a7)+……+f(a1)奇偶性不变.
               3)  a6>a7, a6<a8
                  f(a8) 减小1  
                  f(a7) 不变  
                  f(a6) 增大1
                  所以f(a8)+f(a7)+……+f(a1)奇偶性不变.

这样，再将a3下移一格则|a1 a2 a3|a4 a5 X|a7 a8 a6|=>|a1 a2 X|a4 a5 a3|a7 a8 a6|
则同样，对可能变化的f(a3),f(a4),f(a5)讨论，情况一上面完全一样。

其它情况都如此:
如：|a1 X a3|a4 a5 a6|a7 a8 a2|=>|a1 a5 a3|a4 X a6|a7 a8 a2|
就f(a3),f(a4),f(a5)变化.

结论：因为对于|1 2 3|4 5 6| 7 8 X|, f(8)+f(7)+……+f(1)=28, 是偶数，
所以当f(a8)+f(a7)+……+f(a1)为偶数时才能重排成|1 2 3|4 5 6| 7 8 X|成功.