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📄 2.8 曲面生成与求交.htm

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<HTML><HEAD><TITLE>2</TITLE>
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<META content="MSHTML 6.00.2800.1106" name=GENERATOR></HEAD>
<BODY><B>
<P align=justify><FONT face=楷体_GB2312><FONT size=5>2.8 曲面生成与求交</FONT></FONT></P>
<P align=justify><FONT face=楷体_GB2312 size=4>2.8.1 Bezier曲面生成</FONT></B></P>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%" 
align=justify><FONT face=楷体_GB2312><FONT 
size=4>由Bezier曲线可以容易地得到张量积Bezier曲面，在空间给定<I>(n+1)×(m+1)</I>个点<I>P<SUB>ij</SUB>(i=0,1…n;j=0,1…m)</I>，称下列张量积形式的参数曲面为<I>n×m</I>次的Bezier曲面。</FONT></FONT><FONT 
face=System></P></FONT>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%"><FONT 
face=楷体_GB2312 size=4><IMG height=48 src="2.8 曲面生成与求交.files/Image169.gif" 
width=324></FONT></P>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%" 
align=justify><FONT face=楷体_GB2312><FONT 
size=4>一般称<I>P<SUB>ij</SUB></I>为<I>P(u,v)</I>的控制顶点；把由两组多边形<I>P<SUB>i0</SUB>P<SUB>i1</SUB>…P<SUB>im</SUB> 
(i=0,1,…n)</I>和<I>P<SUB>0j</SUB>P<SUB>1j</SUB>…P<SUB>nj</SUB> 
(j=0,1,…m)</I>组成的网称为<I>P(u,v)</I>的控制网格，记为<I>{P<SUB>ij</SUB>}</I>。</FONT></FONT></P>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%" 
align=justify><FONT face=楷体_GB2312><FONT 
size=4>类似于Bezier曲线的情况，也可以认为控制网格<I>{P<SUB>ij</SUB>}</I>是<I>P(u,v)</I>的大致形状的勾画；<I>P(u,v)</I>是对<I>{P<SUB>ij</SUB>}</I>的逼近。同样地，<I>P(u,v)</I>可按下列方法分成四块小的Bezier曲面片。</FONT></FONT><FONT 
face=System></P></FONT>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%"><FONT 
face=楷体_GB2312 size=4><IMG height=232 src="2.8 曲面生成与求交.files/Image170.gif" 
width=405></FONT></P>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%" 
align=justify><FONT face=楷体_GB2312 size=4>上式各控制顶点由下列递推关系决定：</FONT><FONT 
face=System></P></FONT>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%"><FONT 
face=楷体_GB2312 size=4><IMG height=70 src="2.8 曲面生成与求交.files/Image171.gif" 
width=272></FONT></P>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%" 
align=justify><FONT face=楷体_GB2312><FONT 
size=4>其中<I>i=r,r+1,…,n；j=0,1,2,…,m</I>。</FONT></FONT><FONT 
face=System></P></FONT>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%"><FONT 
face=楷体_GB2312 size=4><IMG height=72 src="2.8 曲面生成与求交.files/Image172.gif" 
width=296></FONT></P>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%" 
align=justify><FONT face=楷体_GB2312><FONT 
size=4>其中<I>i=0,1,2,…,n；j=l,l+1,…,m</I>。</FONT></FONT><FONT 
face=System></P></FONT>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%"><FONT 
face=楷体_GB2312 size=4><IMG height=72 src="2.8 曲面生成与求交.files/Image173.gif" 
width=328></FONT></P>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%" 
align=justify><FONT face=楷体_GB2312><FONT 
size=4>其中<I>i=0,1,2,…,n；j=l,l+1,…,m</I>。</FONT></FONT></P>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%" 
align=justify><FONT face=楷体_GB2312><FONT size=4>Bezier</FONT><FONT 
size=4>曲面的离散性在Beizier曲面的绘制、求交方面都有较大的用途。将离散化过程一直进行下去可以得到一系列越来越密的控制网格，这些控制网格收敛到原曲面，用此方法可生成原来的曲面。</FONT></FONT></P>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%" 
align=justify><FONT face=楷体_GB2312><FONT 
size=4>张量积Bezier曲面除了有离散性外，还具有如下较好的性质：</FONT></FONT></P>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%" 
align=justify><FONT face=楷体_GB2312><FONT size=4>1. </FONT><FONT 
size=4>端点位置</FONT></FONT><I></P>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%" 
align=justify><FONT face=楷体_GB2312><FONT 
size=4>P<SUB>00</SUB>，P<SUB>0m</SUB>，P<SUB>n0</SUB>，P<SUB>nm 
</SUB></FONT></FONT></I><FONT face=楷体_GB2312><FONT 
size=4>是曲面<I>P(u,v)</I>的四个端点，这是因为由式(2.5)可得<I>P<SUB>00</SUB>=P(0,0)，P<SUB>0m</SUB>=P(0,1)，P<SUB>n0</SUB>=P(1,0)，</I></FONT><I><FONT 
size=4>P<SUB>nm</SUB>=P(1,1)</FONT></I></FONT></P>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%" 
align=justify><FONT face=楷体_GB2312><FONT size=4>2. </FONT><FONT 
size=4>边界线的位置</FONT></FONT><I></P>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%" 
align=justify><FONT face=楷体_GB2312><FONT size=4>P(u,v)</FONT></FONT></I><FONT 
size=4>的四条边界线<I>P(0,v),P(u,0),P(1,v),P(u,1)</I>分别是以<I>P<SUB>00</SUB>P<SUB>01</SUB>P<SUB>02</SUB>…P<SUB>0m</SUB>，P<SUB>00</SUB>P<SUB>10</SUB>P<SUB>20</SUB>…P<SUB>m0</SUB>,，P<SUB>n0</SUB>P<SUB>n1</SUB>P<SUB>n2</SUB>…P<SUB>nm</SUB></I>和<I>P<SUB>0m</SUB>P<SUB>1m</SUB>P<SUB>2m</SUB>…P<SUB>nm</SUB></I>为控制多边形的曲线。</FONT></P>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%" 
align=justify><FONT face=楷体_GB2312><FONT size=4>3. 凸包性 </FONT></FONT></P>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%" 
align=justify><FONT face=楷体_GB2312><FONT 
size=4>曲面<I>P(u,v)</I>位于其控制顶点<I>P<SUB>ij</SUB> (i=0,1,2,…,n; j=0,1,2,…,m)</I> 
的凸包内。</FONT></FONT></P>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%" 
align=justify><FONT face=楷体_GB2312><FONT size=4>4. </FONT><FONT 
size=4>交互能力</FONT></FONT><I></P>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%" 
align=justify><FONT face=楷体_GB2312><FONT size=4>P(u,v)</FONT></FONT></I><FONT 
face=楷体_GB2312><FONT 
size=4>的控制网格{<I>P<SUB>ij</SUB></I>}可作为曲面的输入和人机交互的良好手段。</FONT></FONT></P>
<P align=justify>　</P>
<P><A href="http://www.ekany.com/wdg98/cg/contents/chapter2/les274.htm"><FONT 
face=楷体_GB2312>&lt;上一节〉</FONT></A><FONT face=楷体_GB2312>&nbsp;&nbsp;&nbsp; <A 
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&nbsp;&nbsp;&nbsp; <A 
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