📄 2.8.4 特殊曲面生成.htm

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<BODY>
<P align=justify><B><FONT face=楷体_GB2312 size=4>2.8.4 特殊曲面生成</FONT></B></P>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%" 
align=justify><FONT face=楷体_GB2312><FONT 
size=4>球面是几何造型中常用的面之一，球面的生成通常是先得到一条用折线逼近的弧度为π的圆弧，再让此圆弧以其两端点连线为轴旋转，掠扫轨迹是一个圆，也用折线段逼近。若圆弧被分成m段折线，旋转轨迹被分为n段折线，则球面被m×n个多边形（除顶端和底端为三角形外，其余为四边形）所逼近。</FONT></FONT></P>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%" 
align=justify><FONT face=楷体_GB2312 
size=4>圆柱面和圆锥面的生成，通常是让其母线绕其中心轴旋转，掠扫轨迹用正多边形逼近，于是将圆柱面和圆锥面被若干个多边形所逼近。</FONT></P>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%" 
align=justify><FONT face=楷体_GB2312 
size=4>一般地，以曲线为基线，另一条曲线为掠扫轨迹，可以产生掠扫曲面。旋转曲面是掠扫曲面的特殊情况，其掠扫轨迹是一个圆。一般先用折线段逼近基线，再用折线段逼近掠扫轨迹，将掠扫曲面用多边形的网格逼近。为保证多边形为平面多边形，常采用三角形网格。</FONT></P>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%" 
align=justify><FONT face=楷体_GB2312 size=4>下面介绍另一种常用的曲面：孔斯曲面。</FONT></P>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%" 
align=justify><FONT face=楷体_GB2312><FONT 
size=4>孔斯曲面是1964年前后由Coons提出的。Bezier曲面和B样条曲面的特点是曲面逼近控制网格，而孔斯曲面的特点是插值，即构造出来的曲面满足给定的边界条件，例如经过给定边界，具有给定跨界导矢等等。孔斯曲面中运用得较多得是双三次孔斯曲面。</FONT></FONT></P>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%" 
align=justify><FONT face=楷体_GB2312 size=4>考虑下面插值问题：</FONT><I></P>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%" 
align=justify><FONT face=楷体_GB2312><FONT size=4>H(u,v)</FONT></FONT></I><FONT 
size=4>是在区域[0,1;0,1]上给定的曲面，现要求作一曲面<I>P(u,v)</I>使得</FONT><FONT 
face=System></P></FONT>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%"><FONT 
face=楷体_GB2312 size=4><IMG height=97 src="2.8.4 特殊曲面生成.files/Image179.gif" 
width=265></FONT></P>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%" 
align=justify><FONT face=楷体_GB2312><FONT 
size=4>即要求<I>P(u,v)</I>的端点、端点导矢、端点扭矢都要与<I>H(u,v)</I>相同。</FONT></FONT></P>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%" 
align=justify><FONT face=楷体_GB2312 size=4>双三次孔斯函数就是解决这一问题的较好方法。</FONT></P>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%" 
align=justify><FONT face=楷体_GB2312><FONT 
size=4>首先构造三次混合函数<I>F<SUB>0</SUB>,F<SUB>1</SUB>,G<SUB>0</SUB>,G<SUB>1</SUB></I>，使满足</FONT></FONT><FONT 
face=System></P></FONT>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%"><FONT 
face=楷体_GB2312 size=4><IMG height=97 src="2.8.4 特殊曲面生成.files/Image180.gif" 
width=264></FONT></P>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%" 
align=justify><FONT face=楷体_GB2312><FONT 
size=4>易知如下的厄米特基函数满足(2.17)式：</FONT></FONT><FONT face=System></P></FONT>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%"><FONT 
face=楷体_GB2312 size=4><IMG height=98 src="2.8.4 特殊曲面生成.files/Image181.gif" 
width=142></FONT></P>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%" 
align=justify><FONT face=楷体_GB2312 size=4>构造双三次孔斯函数</FONT><FONT 
face=System></P></FONT>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%"><FONT 
face=楷体_GB2312 size=4><IMG height=97 src="2.8.4 特殊曲面生成.files/Image182.gif" 
width=300></FONT></P>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%" 
align=justify><FONT face=楷体_GB2312><FONT size=4>其中矩阵C为角点信息矩阵：</FONT></FONT><FONT 
face=System></P></FONT>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%"><FONT 
face=楷体_GB2312 size=4><IMG height=97 src="2.8.4 特殊曲面生成.files/Image183.gif" 
width=300></FONT></P>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%" 
align=justify><FONT face=楷体_GB2312 size=4>孔斯曲面具有如下性质：</FONT></P>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%" 
align=justify><FONT face=楷体_GB2312><FONT size=4>1. </FONT>端点位置</FONT><I></P>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%" 
align=justify><FONT face=楷体_GB2312><FONT 
size=4>H(0,0),H(0,1),H(1,0),H(1,1)</FONT></FONT></I><FONT 
size=4>是曲面<I>P(u,v)</I>的端点。</FONT></P>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%" 
align=justify><FONT face=楷体_GB2312><FONT size=4>2. 边界线 </FONT></FONT></P>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%" 
align=justify><FONT face=楷体_GB2312><FONT 
size=4>在<I>v=0</I>处曲面的边界线为</FONT></FONT><FONT face=System></P></FONT>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%"><FONT 
face=楷体_GB2312 size=4><IMG height=21 src="2.8.4 特殊曲面生成.files/Image184.gif" 
width=517></FONT></P>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%" 
align=justify><FONT face=楷体_GB2312><FONT 
size=4>这是以端点信息矩阵C的第一列元素为系数的三次厄米特曲线。其余边界线<I>P(u,1),P(0,v),P(1,v)</I>的情况类似。</FONT></FONT></P>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%" 
align=justify><FONT face=楷体_GB2312><FONT size=4>3. 跨界导矢 </FONT></FONT></P>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%" 
align=justify><FONT face=楷体_GB2312 size=4>曲面在处的跨界导矢为：</FONT><FONT 
face=System></P></FONT>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%"><FONT 
face=楷体_GB2312 size=4><IMG height=42 src="2.8.4 特殊曲面生成.files/Image185.gif" 
width=488></FONT></P>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%" 
align=justify><FONT face=楷体_GB2312><FONT size=4>这是以端点信息矩阵</FONT>C<FONT 
size=4>的第三列元素为系数的三次厄米特曲线。其余边界的跨界导矢<IMG height=21 
src="2.8.4 特殊曲面生成.files/Image186.gif" width=156></FONT></FONT></P>
<P style="MARGIN: 1px 0px; TEXT-INDENT: 0px; LINE-HEIGHT: 150%" 
align=justify><FONT face=楷体_GB2312 size=4>的情况类似。</FONT></P>
<P>　</P>
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face=楷体_GB2312>&lt;上一节〉</FONT></A><FONT face=楷体_GB2312>&nbsp;&nbsp;&nbsp; <A 
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