📄 2.7.3非均匀有理b样条(nurbs)曲线生成.htm

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<BODY>
<H3 align=justify><B><FONT face=楷体_GB2312 
size=4>2.7.3非均匀有理B样条(NURBS)曲线生成</FONT></B></H3>
<P align=justify><FONT face=楷体_GB2312><FONT 
size=4>B样条曲线可以按节点向量中节点的分布情况不同分类，均匀B样条曲线(uniform B-spline 
curve)的节点向量中的节点沿参数轴均匀或等距分布。一般非均匀B样条曲线(general non-uniform B-spline 
curve)的节点向量可以任意分布，只要在数学上成立即可。</FONT></FONT></P>
<P align=justify><FONT face=楷体_GB2312><FONT size=4>一条k阶（k-1次）非均匀有理B样条(NURBS , 
Non-Uniform Rational B-Spline)曲线定义如下：</FONT></FONT></P>
<P align=justify><FONT face=楷体_GB2312><FONT size=4>P(t)=</FONT><FONT size=3><IMG 
height=89 src="2.7.3非均匀有理B样条(NURBS)曲线生成.files/Image164.gif" 
width=93></FONT></FONT></P>
<P align=justify><FONT face=楷体_GB2312><FONT 
size=4>其中P<SUB>i</SUB>(i=1,2,…,n)为控制顶点，w<SUB>i</SUB>(i=1,2,…,n)称为权或权因子，分别与控制顶点相联系。其中首、末权因子大于零，其余权因子不小于零。控制顶点顺序连成控制多边形。其节点向量是一般非均匀的。当所有权因子均为1时，NURBS曲线就成为B样条曲线。</FONT></FONT></P>
<P align=justify><FONT face=楷体_GB2312><FONT size=4>NURBS</FONT><FONT 
size=4>曲线具有一个重要性质，以三维空间中的NURBS曲线为例，设其控制顶点为P<SUB>i</SUB>=[x<SUB>i</SUB> 
y<SUB>i</SUB> 
z<SUB>i</SUB>]，权因子为w<SUB>i</SUB>，则它是四维空间中以四维点[w<SUB>i</SUB>P<SUB>i</SUB> 
W<SUB>i</SUB>]=[w<SUB>i</SUB>x<SUB>i</SUB> w<SUB>i</SUB>y<SUB>i</SUB> 
w<SUB>i</SUB>z<SUB>i</SUB> 
w<SUB>i</SUB>]为控制顶点的B样条曲线在w=1的超平面上的中心投影，以上i=1,2,…,n，且两条曲线具有相同的节点向量。中心投影H定义如下：</FONT></FONT></P>
<P align=justify><FONT face=楷体_GB2312><FONT size=4>H{[X Y Z w]}=[x y z]=[<IMG 
height=41 src="2.7.3非均匀有理B样条(NURBS)曲线生成.files/Image165.gif" width=21><IMG 
height=41 src="2.7.3非均匀有理B样条(NURBS)曲线生成.files/Image166.gif" width=18><IMG 
height=41 src="2.7.3非均匀有理B样条(NURBS)曲线生成.files/Image167.gif" width=18>] 
若w≠0</FONT></FONT></P>
<P align=justify><FONT face=楷体_GB2312><FONT size=4>或 H{[X Y Z w]}=在从原点通过[X Y 
Z]的直线上的无穷远点 若w=0 </FONT></FONT></P>
<P align=justify><FONT face=楷体_GB2312><FONT size=4>于是我们可以得到</FONT>NURBS<FONT 
size=4>曲线上点的计算方法：</FONT></FONT></P>
<OL>
  <LI><FONT face=楷体_GB2312><FONT 
  size=4>构造与n维空间中的NURBS曲线相应的n+1维空间中的B样条曲线；</FONT></FONT> 
  <LI><FONT face=楷体_GB2312><FONT size=4>用deBoor算法求出n+1维空间中的点[P w]；</FONT></FONT> 

  <LI><FONT face=楷体_GB2312><FONT 
  size=4>将此点中心投影到w=1的超平面上，得到n维空间中的相应点[P/w]。</FONT></FONT> </LI></OL>
<P align=justify><FONT face=楷体_GB2312><FONT 
size=4>可以利用此性质来生成NURBS曲线，即先在高一维的空间中生成相应的B样条曲线，再利用中心投影将之投影到w=1的超平面上，就完成了NURBS曲线的生成。</FONT></FONT></P>
<P align=justify><FONT face=楷体_GB2312><FONT 
size=4>NURBS方法除具有B样条方法的优点以外，还具有以下的优点：</FONT></FONT></P>
<OL>
  <LI><FONT face=楷体_GB2312 
  size=4>对标准的解析形状（如圆锥曲线、二次曲面、回转面等）和自由曲线、曲面提供了统一的数学表示，而且对二次曲线曲面的表示是精确的。</FONT> 
  <LI><FONT face=楷体_GB2312 size=4>由操纵控制顶点和权因子为各种形状设计提供了充分的灵活性。</FONT> 
  <LI><FONT face=楷体_GB2312 size=4>计算稳定且速度较快。</FONT> 
  <LI><FONT face=楷体_GB2312><FONT 
  size=4>NURBS在比例、旋转、平移、剪切以及平行和透视投影变换下是不变的。</FONT></FONT> 
  <LI><FONT face=楷体_GB2312><FONT 
  size=4>NURBS是非有理B样条形式以及Bezier形式的合适的推广。</FONT></FONT> </LI></OL>
<P align=justify><FONT face=楷体_GB2312><FONT 
size=4>由于NURBS具有的诸多优点，在国际标准组织(ISO)颁布的工业产品几何定义的STEP标准中，自由型曲线曲面唯一地用NURBS表示。</FONT></FONT><FONT 
face=System size=5><B></P></B></FONT>
<P>　</P>
<P><A href="http://www.ekany.com/wdg98/cg/contents/chapter2/les272.htm"><FONT 
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