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style='color:red'>实体造型系统</span></a>的基本功能。</span></span><span lang=EN-US
style='font-size:12.0pt;font-family:宋体'><o:p></o:p></span></p>
</td>
</tr>
</table>
<p style='margin-top:7.5pt;margin-right:0cm;margin-bottom:7.5pt;margin-left:
0cm'><span style='font-size:13.5pt;font-family:隶书;color:purple'>内容简介</span></p>
<table border=1 cellpadding=0 width="89%" style='width:89.0%;mso-cellspacing:
1.5pt'>
<tr>
<td width="99%" style='width:99.2%;padding:.75pt .75pt .75pt .75pt'>
<p style='line-height:130%'><span lang=EN-US style='font-size:10.0pt;
mso-ascii-font-family:仿宋_GB2312;mso-fareast-font-family:仿宋_GB2312'> </span><span
lang=EN-US style='font-size:10.0pt;font-family:仿宋_GB2312'> 几何造型技术是一种研究在计算机中，如何表达物体模型形状的技术。它从诞生到现在，仅仅经历了三十多年的发展历史，由于几何造型技术研究的迅速发展和计算机硬件性能的大幅度提高，已经出现了许多以几何造型作为核心的实用化系统，在航空航天、汽车、造船、机械、建筑和电子等行业得到了广泛的应用。</span></p>
<p class=MsoNormal style='mso-margin-top-alt:auto;mso-margin-bottom-alt:auto;
text-indent:22.7pt;line-height:130%'><span style='font-size:10.0pt;
font-family:仿宋_GB2312'>在几何造型系统中，描述物体的三维模型有三种，即线框模型、表面模型和实体模型。在计算机图形学和<span
lang=EN-US>CAD/CAM领域中，<span style='color:maroon'>线框模型</span>是最早用来表示物体的模型，计算机绘图是这种模型的一个重要应用。线框模型的缺点是明显的，它用顶点和棱边来表示物体，由于没有面的信息，不能表示表面含有曲面的物体；另外，它不能明确地定义给定点与物体之间的关系（点在物体内部、外部或表面上），所以线框模型不能处理许多重要问题，如不能生成剖切图、消隐图、明暗色彩图，不能用于数控加工等，应用范围受到了很大的限制。
</span></span></p>
<p class=MsoNormal style='mso-margin-top-alt:auto;mso-margin-bottom-alt:auto;
text-indent:22.7pt;line-height:130%'><span style='font-size:10.0pt;
font-family:仿宋_GB2312;color:maroon'>表面模型</span><span style='font-size:10.0pt;
font-family:仿宋_GB2312'>在线框模型的基础上，增加了物体中面的信息，用面的集合来表示物体，而用环来定义面的边界。表面模型扩大了线框模型的应用范围，能够满足面面求交、线面消隐、明暗色彩图、数控加工等需要。但在该模型中，只有一张张面的信息，物体究竟存在于表面的哪一侧，并没有给出明确的定义，无法计算和分析物体的整体性质，如物体的表面积、体积、重心等，也不能将这个物体作为一个整体去考察它与其它物体相互关联的性质，如是否相交等。
</span></p>
<p class=MsoNormal style='mso-margin-top-alt:auto;mso-margin-bottom-alt:auto;
text-indent:22.7pt;line-height:130%'><span style='font-size:10.0pt;
font-family:仿宋_GB2312;color:maroon'>实体模型</span><span style='font-size:10.0pt;
font-family:仿宋_GB2312'>是最高级的三维物体模型，它能完整地表示物体的所有形状信息。可以无歧义地确定一个点是在物体外部、内部或表面上，这种模型能够进一步满足物性计算、有限元分析等应用的要求。</span></p>
<p style='line-height:130%'><span lang=EN-US style='font-size:10.0pt;
font-family:"Times New Roman";mso-ascii-font-family:仿宋_GB2312;mso-fareast-font-family:
仿宋_GB2312'> </span><span lang=EN-US style='font-size:10.0pt;
font-family:仿宋_GB2312;mso-hansi-font-family:"Times New Roman"'> 虽然三维表面模型表示三维物体的信息并不完整，但它能够表达复杂的雕刻曲面，在几何造型中具有重要的地位，对于支持曲面的三维实体模型，表面模型是它的基础，本章将主要介绍有关表面和实体的造型技术。</span><span
lang=EN-US> </span></p>
<p> </p>
</td>
</tr>
</table>
<p align=center style='text-align:center'><b><span lang=EN-US style='font-size:
18.0pt;color:green'>3.1</span><span lang=EN-US style='color:green'> </span></b><b><span
style='font-size:18.0pt;font-family:仿宋_GB2312;color:green'>参数曲线和曲面</span></b></p>
<p style='line-height:200%'><span lang=EN-US style='mso-ascii-font-family:仿宋_GB2312;
mso-fareast-font-family:仿宋_GB2312'> </span><span lang=EN-US
style='font-family:仿宋_GB2312'> </span><span style='font-family:楷体_GB2312'>如何表示象飞机、汽车、轮船等具有复杂外形产品的表面是工程中必须解决的问题。<span
lang=EN-US>1963年美国波音（Boeing）飞机公司的佛格森（Ferguson）最早引入参数三次曲线，将曲线曲面表示成参数矢量函数形式，构造了组合曲线和由四角点的位置矢量、两个方向的切矢定义的佛格森双三次曲面片。1964年，美国麻省理工学院（MIT）的孔斯（Coons）用封闭曲线的四条边界定义一张曲面。同年，舍恩伯格（Schoenberg）提出了参数样条曲线、曲面的形式。1971年，法国雷诺（Renault）汽车公司的贝塞尔（Bezier）发表了一种用控制多边形定义曲线和曲面的方法。同期，法国雪铁龙（Citroen）
汽车公司的德卡斯特里奥（de Castelijau）也独立地研究出与Bezier类似的方法。1972年，德布尔（de Boor）给出了B样条的标准计算方法。1974年，美国通用汽车公司的戈登（Gorden）和里森费尔德（Riesenfeld）将B样条理论用于形状描述，提出了</span></span><span
lang=EN-US><a
href="http://learn.bitsde.com/hep/jisuanjituxing/Chapter3/CG_Txt_3_021.htm"><span
style='color:red'>B样条曲线和曲面</span></a></span><span style='font-family:楷体_GB2312'>。<span
lang=EN-US>1975年，美国锡拉丘兹（Syracuse）大学的佛斯普里尔（Versprill）提出了有理B样条方法。80年代后期皮格尔（Piegl）和蒂勒（Tiller）将有理B样条发展成非均匀有理B样条方法，并已成为当前自由曲线和曲面描述的最广为流行的技术。
</span></span></p>
<p><span lang=EN-US style='font-family:楷体_GB2312;color:#00CC00'><!--[if gte vml 1]><v:shape
id="_x0000_i1029" type="#_x0000_t75" alt="" style='width:24pt;height:24pt'>
<v:imagedata src="./第三章%20几何造型技术1(参数曲线和曲面).files/image002.gif" o:href="http://learn.bitsde.com/hep/jisuanjituxing/material/CG_Gif_pub_034.gif"/>
</v:shape><![endif]--><![if !vml]><img border=0 width=32 height=32
src="./第三章%20几何造型技术1(参数曲线和曲面).files/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1029"><![endif]></span><span
style='font-family:仿宋_GB2312;color:maroon'>程序演示：</span><span lang=EN-US><a
href="http://learn.bitsde.com/hep/jisuanjituxing/Chapter3/BezierSurface/CG_Txt_3_203.htm"
target="_blank"><span style='font-family:仿宋_GB2312;color:maroon'>一个曲面实例</span></a></span></p>
<p><b><span lang=EN-US style='font-size:10.0pt;font-family:幼圆;color:gray'><a
href="http://learn.bitsde.com/hep/jisuanjituxing/Chapter3/CG_Txt_3_007.htm"><span
style='text-decoration:none;text-underline:none'><!--[if gte vml 1]><v:shape
id="_x0000_i1030" type="#_x0000_t75" alt="" href="..\CG_Txt_3_007.htm"
style='width:21pt;height:37.5pt' o:button="t">
<v:imagedata src="./第三章%20几何造型技术1(参数曲线和曲面).files/image003.gif" o:href="http://learn.bitsde.com/hep/jisuanjituxing/material/CG_Gif_pub_021.gif"/>
</v:shape><![endif]--><![if !vml]><img border=0 width=28 height=50
src="./第三章%20几何造型技术1(参数曲线和曲面).files/image003.gif" v:shapes="_x0000_i1030"><![endif]></span></a></span></b><b><span
lang=EN-US style='font-family:幼圆;color:gray'><a
href="http://learn.bitsde.com/hep/jisuanjituxing/Chapter3/CG_Txt_3_007.htm"><span
style='color:gray'>曲线曲面参数表示的基础知识</span></a><o:p></o:p></span></b></p>
<p>线、曲面可以用显式、隐式和参数表示，由于参数表示的曲线、曲面具有几何不变性等优点，计算机图形学中通常用参数形式描述曲线、曲面，本小节讨论一些参数曲线和曲面表示的基础知识。</p>
<p><span lang=EN-US style='font-family:隶书;color:#CC3300'><a
href="http://learn.bitsde.com/hep/jisuanjituxing/Chapter3/CG_Txt_3_008.htm"><span
style='text-decoration:none;text-underline:none'><!--[if gte vml 1]><v:shape
id="_x0000_i1031" type="#_x0000_t75" alt="" href="..\CG_Txt_3_008.htm"
style='width:24.75pt;height:21.75pt' o:button="t">
<v:imagedata src="./第三章%20几何造型技术1(参数曲线和曲面).files/image004.gif" o:href="http://learn.bitsde.com/hep/jisuanjituxing/material/CG_Gif_pub_024.gif"/>
</v:shape><![endif]--><![if !vml]><img border=0 width=33 height=29
src="./第三章%20几何造型技术1(参数曲线和曲面).files/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1031"><![endif]></span></a></span><span
lang=EN-US style='font-family:隶书;color:#666633'><a
href="http://learn.bitsde.com/hep/jisuanjituxing/Chapter3/CG_Txt_3_008.htm"><span
style='color:#666633'>显示、隐式和参数表示</span></a><o:p></o:p></span></p>
<p style='line-height:200%'>曲线和曲面的表示方程有参数表示和非参数表示之分，非参数表示又分为显式表示和隐式表示。</p>
<p style='line-height:200%'><span lang=EN-US> 对于一个平面曲线，<span
style='color:maroon'>显式表示</span>一般形式是：</span><i><span lang=EN-US
style='font-family:"Times New Roman"'>y</span></i><span lang=EN-US>=</span><i><span
lang=EN-US style='font-family:"Times New Roman"'>f</span></i><span lang=EN-US>(</span><i><span
lang=EN-US style='font-family:"Times New Roman"'>x</span></i><span lang=EN-US>)。在此方程中，一个</span><i><span
lang=EN-US style='font-family:"Times New Roman"'>x</span></i>值与一个<i><span
lang=EN-US style='font-family:"Times New Roman"'>y</span></i>值对应，所以显式方程不能表示封闭或多值曲线，例如，不能用显式方程表示一个圆。</p>
<p style='line-height:200%'><span lang=EN-US> 如果一个平面曲线方程，表示成</span><i><span
lang=EN-US style='font-family:"Times New Roman"'>f</span></i><span lang=EN-US>(</span><i><span
lang=EN-US style='font-family:"Times New Roman"'>x</span></i><span lang=EN-US>,</span><i><span
lang=EN-US style='font-family:"Times New Roman"'>y</span></i><span lang=EN-US>)=0的形式，我们称之为<span
style='color:maroon'>隐式表示</span>。隐式表示的优点是易于判断函数</span><i><span lang=EN-US
style='font-family:"Times New Roman"'>f</span></i><span lang=EN-US>(</span><i><span
lang=EN-US style='font-family:"Times New Roman"'>x</span></i><span lang=EN-US>,</span><i><span
lang=EN-US style='font-family:"Times New Roman"'>y</span></i><span lang=EN-US>)是否大于、小于或等于零，也就易于判断点是落在所表示曲线上或在曲线的哪一侧。</span></p>
<p style='line-height:200%'><span lang=EN-US> 对于非参数表示形式方程（无论是显式还是隐式）存在下述问题：
</span></p>
<p style='margin-left:36.0pt;text-indent:-18.0pt;line-height:200%;mso-list:
l0 level1 lfo5;tab-stops:list 36.0pt'><![if !supportLists]><span lang=EN-US>1.<span
style='font:7.0pt "Times New Roman"'> </span></span><![endif]>与坐标轴相关；<span
lang=EN-US> </span></p>
<p style='margin-left:36.0pt;text-indent:-18.0pt;line-height:200%;mso-list:
l0 level1 lfo5;tab-stops:list 36.0pt'><![if !supportLists]><span lang=EN-US>2.<span
style='font:7.0pt "Times New Roman"'> </span></span><![endif]>会出现斜率为无穷大的情形（如垂线）；<span
lang=EN-US> </span></p>
<p style='margin-left:36.0pt;text-indent:-18.0pt;line-height:200%;mso-list:
l0 level1 lfo5;tab-stops:list 36.0pt'><![if !supportLists]><span lang=EN-US>3.<span
style='font:7.0pt "Times New Roman"'> </span></span><![endif]>对于非平面曲线、曲面，难以用常系数的非参数化函数表示；<span
lang=EN-US> </span></p>
<p style='margin-left:36.0pt;text-indent:-18.0pt;line-height:200%;mso-list:
l0 level1 lfo5;tab-stops:list 36.0pt'><![if !supportLists]><span lang=EN-US>4.<span
style='font:7.0pt "Times New Roman"'> </span></span><![endif]>不便于计算机编程。<span
lang=EN-US> </span></p>
<p style='line-height:200%'><span lang=EN-US> 在几何造型系统中，曲线曲面方程通常表示成参数的形式，即曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。假定用</span><i><span
lang=EN-US style='font-family:"Times New Roman"'>t</span></i>表示参数，平面曲线上任一点<i><span
lang=EN-US style='font-family:"Times New Roman"'>P</span></i>可表示为：</p>
<p style='margin-right:144.0pt;margin-left:144.0pt;line-height:200%'><i><span
lang=EN-US style='font-family:"Times New Roman"'>P</span></i><span lang=EN-US>(</span><i><span
lang=EN-US style='font-family:"Times New Roman"'>t</span></i><span lang=EN-US>)=[</span><i><span
lang=EN-US style='font-family:"Times New Roman"'>x</span></i><span lang=EN-US>(</span><i><span
lang=EN-US style='font-family:"Times New Roman"'>t</span></i><span lang=EN-US>),
</span><i><span lang=EN-US style='font-family:"Times New Roman"'>y</span></i><span
lang=EN-US>(</span><i><span lang=EN-US style='font-family:"Times New Roman"'>t</span></i><span
lang=EN-US>)]； </span></p>
<p style='line-height:200%'><span lang=EN-US> 空间曲线上任一三维点</span><i><span
lang=EN-US style='font-family:"Times New Roman"'>P</span></i>可表示为：</p>
<p style='margin-right:144.0pt;margin-left:144.0pt;line-height:200%'><i><span
lang=EN-US style='font-family:"Times New Roman"'>P</span></i><span lang=EN-US>(</span><i><span
lang=EN-US style='font-family:"Times New Roman"'>t</span></i><span lang=EN-US>)=[</span><i><span
lang=EN-US style='font-family:"Times New Roman"'>x</span></i><span lang=EN-US>(</span><i><span
lang=EN-US style='font-family:"Times New Roman"'>t</span></i><span lang=EN-US>),
</span><i><span lang=EN-US style='font-family:"Times New Roman"'>y</span></i><span
lang=EN-US>(</span><i><span lang=EN-US style='font-family:"Times New Roman"'>t</span></i><span
lang=EN-US>), </span><i><span lang=EN-US style='font-family:"Times New Roman"'>z</span></i><span
lang=EN-US>(</span><i><span lang=EN-US style='font-family:"Times New Roman"'>t</span></i><span
lang=EN-US>)]；</span></p>
<p style='line-height:200%'><span lang=EN-US> 最简单的参数曲线是直线段，端点为</span><i><span
lang=EN-US style='font-family:"Times New Roman"'>P</span></i><sub><span
lang=EN-US style='font-family:"Times New Roman"'>1</span></sub>、<i><span
lang=EN-US style='font-family:"Times New Roman"'>P</span></i><sub><span
lang=EN-US style='font-family:"Times New Roman"'>2</span></sub>的直线段参数方程可表示为：</p>
<p style='margin-right:144.0pt;margin-left:144.0pt;line-height:200%'><i><span
lang=EN-US style='font-family:"Times New Roman"'>P</span></i><span lang=EN-US>(</span><i><span
lang=EN-US style='font-family:"Times New Roman"'>t</span></i><span lang=EN-US>)=</span><i><span
lang=EN-US style='font-family:"Times New Roman"'>P</span></i><sub><span
lang=EN-US style='font-family:"Times New Roman"'>1</span></sub><span
lang=EN-US>+(</span><i><span lang=EN-US style='font-family:"Times New Roman"'>P</span></i><sub><span
lang=EN-US style='font-family:"Times New Roman"'>2</span></sub><span
lang=EN-US>-</span><i><span lang=EN-US style='font-family:"Times New Roman"'>P</span></i><sub><span
lang=EN-US style='font-family:"Times New Roman"'>1</span></sub><span
lang=EN-US>)</span><i><span lang=EN-US style='font-family:"Times New Roman"'>t</span></i><span
lang=EN-US> </span><i><span lang=EN-US style='font-family:"Times New Roman"'>t</span></i><span
lang=EN-US>∈[0, 1];</span></p>
<p style='line-height:200%'><span lang=EN-US> 圆在计算机图形学中应用十分广泛，其在第一象限内的单位圆弧的非参数<!--[if gte vml 1]><v:shape
id="_x0000_i1032" type="#_x0000_t75" alt="" style='width:213.75pt;height:24.75pt'>
<v:imagedata src="./第三章%20几何造型技术1(参数曲线和曲面).files/image005.gif" o:href="http://learn.bitsde.com/hep/jisuanjituxing/Chapter3/CG_Gif_3_201.gif"/>
</v:shape><![endif]--><![if !vml]><img border=0 width=285 height=33
src="./第三章%20几何造型技术1(参数曲线和曲面).files/image005.gif" v:shapes="_x0000_i1032"><![endif]></span></p>
<p style='line-height:200%'>其参数形式可表示为：</p>
<p align=center style='text-align:center;line-height:200%'><span lang=EN-US><!--[if gte vml 1]><v:shape
id="_x0000_i1033" type="#_x0000_t75" alt="" style='width:193.5pt;height:42.75pt'>
<v:imagedata src="./第三章%20几何造型技术1(参数曲线和曲面).files/image006.gif" o:href="http://learn.bitsde.com/hep/jisuanjituxing/Chapter3/CG_Gif_3_202.gif"/>
</v:shape><![endif]--><![if !vml]><img border=0 width=258 height=57
src="./第三章%20几何造型技术1(参数曲线和曲面).files/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1033"><![endif]></span></p>
<p style='line-height:200%'><span lang=EN-US> 在曲线、曲面的表示上，参数方程比显式、隐式方程有更多的优越性，主要表现在：</span></p>
<p style='line-height:200%'>（<span lang=EN-US>1）可以满足几何不变性的要求。</span></p>
<p style='line-height:200%'>（<span lang=EN-US>2）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。如一条二维三次曲线的显式表示为：</span></p>
<p style='margin-right:36.0pt;margin-left:36.0pt;line-height:200%'><span
lang=EN-US><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1034" type="#_x0000_t75"
alt="" style='width:129.75pt;height:21.75pt'>
<v:imagedata src="./第三章%20几何造型技术1(参数曲线和曲面).files/image007.gif" o:href="http://learn.bitsde.com/hep/jisuanjituxing/Chapter3/CG_Gif_3_203.gif"/>
</v:shape><![endif]--><![if !vml]><img border=0 width=173 height=29
src="./第三章%20几何造型技术1(参数曲线和曲面).files/image007.gif" v:shapes="_x0000_i1034"><![endif]></span></p>
<p style='line-height:200%'>只有四个系数控制曲线的形状。而二维三次曲线的参数表达式为：</p>
<p style='line-height:200%'><span lang=EN-US><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1035"
type="#_x0000_t75" alt="" style='width:230.25pt;height:42.75pt'>
<v:imagedata src="./第三章%20几何造型技术1(参数曲线和曲面).files/image008.gif" o:href="http://learn.bitsde.com/hep/jisuanjituxing/Chapter3/CG_Gif_3_204.gif"/>
</v:shape><![endif]--><![if !vml]><img border=0 width=307 height=57
src="./第三章%20几何造型技术1(参数曲线和曲面).files/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1035"><![endif]></span></p>
<p style='line-height:200%'>有<span lang=EN-US>8个系数可用来控制此曲线的形状。</span></p>
<p style='line-height:200%'>（<span lang=EN-US>3）对非参数方程表示的曲线、曲面进行变换，必须对曲线、曲面上的每个型值点进行几何变换；而对参数表示的曲线、曲面可对其参数方程直接进行几何变换。</span></p>
<p style='line-height:200%'>（<span lang=EN-US>4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。</span></p>
<p style='line-height:200%'>（<span lang=EN-US>5）由于坐标点各分量的表示是分离的，从而便于把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间中去。</span></p>
<p style='line-height:200%'>（<span lang=EN-US>6）规格化的参数变量</span><i><span
lang=EN-US style='font-family:"Times New Roman"'>t</span></i><span lang=EN-US>∈[0,1]，使得界定曲线、曲面的范围十分简单。</span></p>
<p style='line-height:200%'>（<span lang=EN-US>7）易于用矢量和矩阵运算，从而大大简化了计算。</span></p>
<p><span lang=EN-US><![if !supportEmptyParas]> <![endif]><o:p></o:p></span></p>
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