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一些关于素数和因数分解的文章。

自然数列中的素数分布问题－－胡桢 

素数的分布问题一直是数论的重头戏，自然数列中的素数分布问题是其中最简单的一个；尽管如此，然真正了解其奥秘的人并不多。我们知道，在自然数列中，虽然最先出现的是素数(除1之外)，但其后素数的出现则必须是在合数的夹缝中呈现。原因是，当某一素数p在自然数列中出现之后，则其倍数总是每隔p之数值而出现一次。例如，2的倍数有：2、4、6、8、...等，3的倍数有：3、6、9、12、...等，5的倍数有：5、10、15、20、...等。素数只有在合数之排序的空档中，才有机会进入序列。所以，在素数与合数这一矛盾中，合数占据着主要的矛盾方面。只有全面地了解合数的出现规则，才能对素数的出现规律进行了解；这就是所谓的否定之否定法则。 
一千多年前，埃拉托色尼先生根据否定之否定法则在不大于x的序列中求出了不大于x的素数，这就是著名的埃拉托色尼筛法(简称埃氏筛法)。所谓埃氏筛法，是指：以不大于√x的素数为筛子，逐个地将它们的倍数筛掉，剩下来的就是那些不大于√x至x之间的素数。 
根据埃氏筛法，数论为其创立了一个函数，这就是π(x)函数。函数π(x)的一般表达式为： 
π(x)=x-r-1-{r∑i=1}[x/p_i]+{∑1≤i＜j≤r}[x/(p_i*p_j)] 
-...+{(-1)^r}[x/(p_i*p_j*...*p_r)] 
其中，符号[n]为取整之符号；意思是，若n不是一个整数，则只取其整数之部份而弃去小数之部份。 
显然，由于对π(x)函数必须赋予取整之步骤，若x之值逐步增大时，会使计算十分繁琐；当x→∞时，根本无法计算。正是由于此原因，才使自然数列中的素数分布问题变得复杂起来了。 
为解决此问题，在数论中用所谓的素数定理作替代，美其名曰：解析数论。其实，所谓的素数定理，只是π(x)函数的替代品而已。 
数论之所以用素数定理来替代π(x)函数，其理由是，有数据表示： 
当x=1000时，π(x)=168，x/logx=144.764...。 
当x=200时，π(x)=303，x/logx=263.126...。 
当x=5000时，π(x)=669，x/logx=587.047...。 
当x=10000时，π(x)=1229，x/logx=1085.73...， 
当=100000时，π(x)=9592，x/logx=8685.889...。 
而π(x)与x/logx之比，当x趋向无穷大时，逐步趋向于1。若用对数函数的积分Lix函数来替代，其数值则更加接近于π(x)函数。 
诚然，以Lix函数来替代π(x)函数，是著名数学家高斯先生提出来的。鉴于π(x)函数中无穷无尽的取整之步骤，当x趋向无穷大时，根本无法获取不大于x的素数之个数。所以，高斯先生提议用Lix函数来替代π(x)函数，在当时乃是十分明智的举措。但是，当数学发展到今天，人类对无穷大的认识已今非昔比。集合论根据一一对应之原则，用基数的概念对无穷集合进行了考察。得出：任何自然数的倍数之集合，都与自然数集N一样，具有可数集的基数。 
如此而为，则对π(x)函数的计算，当x→∞时，再也不必进行无穷无尽的取整之步骤。因为都有无穷多个元素，且都具有相同的基数，也就不存在所谓的取整之步骤。于是，对π(x)函数中的逐步淘汰原则之应用，只要以诸自然数的倍数之子集合占自然数集N的比例论之。例如，2的倍数占自然数集的1/2；3的倍数占自然数集的1/3；6的倍数占自然数集N的1/6；等等。 
当π(x)函数不再需要进行无穷无尽的取整时，则对其进行计算就变得十分简单，即有π(x)/N=∏(1-1/p)，其中，∏(1-1/p)是无穷乘积，p为诸素数。 
用集合论的观点对埃氏筛法进行分析，所谓的以不大于√x的素数为筛子，其实就是归纳不大于√x的诸素数的倍数为自然数集N的子集。而对π(x)函数进行逐步淘汰原则的计算，其实就是用商集合的概念来分割诸子集，以最小素约数为归纳条件，使得每一个元素属于且仅属于某一不空的子集，即在诸商集化的子集中没有交集。 
所以，在集合论中有这样一条定理：“每一个无穷集合都可以良序化”；所谓的良序化就是应用基础数学中的选择公理。选择公理有许多形式，若采用罗素形式的选择公理：“对于不空集合的不交集合X，存在一集合C，它恰好由X中每一集合的一个元素组成”，可知，自然数集N的良序化之链正是诸素数的集合： 
2＜3＜5＜7＜11＜13＜17＜19＜...。 
上述之不等式，乃是以诸素数为标识，表达了以诸素约数为分割条件的子集。显然，此标识的倒数之序： 
1/2＞1/3＞1/5＞1/7＞1/11＞1/13＞... 
为诸标识所代表的集合在自然数列中所占的比例。而诸商集化子集的元素占自然数集N中的比例，根据逐步淘汰原则，有 
π(p_n)=1/p_n{n-1∏i=1}(1-1/p_i)。 
例如，π(2)=1/2、π(3)=1/3(1-1/2)、π(5)=1/5(1-1/2)(1-1/3)、...等等。其中，π表示分割。 
显然，由于诸商集化子集之间并无交集，根据概率论中的叠加原理，则不大于√x的素数所归纳的自然数有出现概率： 
{∞∑n=1}π(p_n)={∞∑n=1}1/p_n{n-1∏i=1}(1-1/p_i)。 
用1减之，有 
1-{∞∑n=1}1/p_n{n-1∏i=1}(1-1/p_i)=∏(1-1/p) 
即无穷乘积∏(1-1/p)是自然数集N的不可归纳之元素的出现概率。 
这是因为，数论中有这样一条定理：“每一个不大于x的合数都有一个不大于√x的素约数”。所以，在对自然数集N作商集化分割时，被大于√x的素数所归纳的元素只有唯一的元素，即大于√x的素数自身。根据集合的良序化之链的定义，如果商集化子集中存在着只有一个元素的集合，则该良序化集合中存在有最小元素。凡有最小元素的良序化之链，该良序化之链中断于有限处。可知，自然数集N的良序化之链中断于有限处，其中断点是在不大于√x的最大的素数处。 
由于{∞∑n=1}π(p_n)所表达的是可以归纳的自然数元素之出现概率，所以，与其互补的大于√x的素数是一些不可归纳的元素，无穷乘积∏(1-1/p)所表达的就是不可归纳的元素之出现概率。因为无穷乘积∏(1-1/p)之乘积是无穷尽的，说明该乘积是循序渐进的，并无固定的数值。 
利用自然数集N良序化之链，我们可以对x处于有限时的情况进行分析。由于自然数集N的良序化之链中断于有限处，中断之前良序化之链的标识，可同比于埃氏筛法的筛子；中断之后的最小元素集，则可同比于埃氏筛法所获得的大于√x至x的素数。由此我们就可以将自然数列中的素数分布按规则搞清楚了。 
埃氏筛法之正确性，可用完备性条件证之。我们知道，埃氏筛法是根据否定之否定法则而求解自然数列中的素数，有表达式： 
p=x-H 
其中，p表示自然数列中素数之集合，H表示自然数列中合数之集合。由于自然数不是素数即是合数，两者必居其一(自然数1 除外)。显然，p=x-H之等式两边是互补的。所以，埃氏筛法是满足完备性条件的。 
例如，设x=30，则其不大于√x的素数是：2、3、5，而大于√x的素数是：7、11、13、17、19、23、29，其余的就是1 和合数。归纳不大于√x的素数的倍数为商集化的子集，有π(2)、π(3)、π(5)等子集具有一个元素以上的元素，而大于√x的素数所归纳的子集中，只有唯一的一个素数元素。以此类推，则可获得自然数集N的良序化之链。 
对诸商集化子集的出现概率进行计算，有：π(2)=1/2、π(3)=1/3(1-1/2)、π(5)=1/5(1-1/2)(1-1/3)、...等。用1减之，有： 
1-1/2-1/3(1-1/2)-1/5(1-1/2)(1-1/3)-... 
=1/2-1/2(1-1/3)-1/5(1-1/2)(1-1/3)-... 
=(1-1/2)(1-1/3)-1/5(1-1/2)(1-1/3)-... 
=(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)-... 
...... 
最终的结果可获得的是无穷乘积∏(1-1/p)。 
展开无穷乘积∏(1-1/p)的因式，有 
∏(1-1/p)=1/2*2/3*4/5*6/7*10/11*12/13*... 
由于相邻的两个因式中，后一分式的分子，总是大于前一分式的分母，所以，将无穷乘积∏(1-1/p)进行约分，保留所谓的最后一个因式的分母p_n，则有： 
∏(1-1/p)＞Lim(1/p_n)→0 
无疑，所谓的无穷乘积∏(1-1/p)之值并不等于零。 
只有了解了自然数列中素数分布的情况，才有可能进一步对其它的素数问题作探索。人们熟悉的哥德巴赫猜想问题，有与求自然数列中素数分布十分相似的求法，因为都必须用否定之否定法则来求，舍此别无它法。但是，由于哥德巴赫猜想所求的是加法关系中的素数之和的个数问题，则其求解的方法就与埃氏筛法不同，需要用摩根定律来求。 

胡桢写于01-07-12.