空间和时间分数阶偏微分方程

本文考虑了Riesz空间分数阶反应-扩散方程（RSFRDE）、时间分数阶电报方程和带阻尼项的时间分数阶波动方程.

第一章介绍了分数阶计算的发展历史和现状及目前所做的一些工作，同时给出有关分数阶计算的一些预备知识。

第二章讨论Riesz空间分数阶反应-扩散方程.首先使用Laplace和Fourier变换获得 Riesz空间分数阶反应-扩散方程在无穷区域上的基本解，其解用格林函数表示。由于分数阶微分方程的解是很难计算的，因此我们感兴趣于发展分数阶微分方程的数值方法.考虑了有界区域上的Riesz空间分数阶反应-扩散方程，直接利用二阶中心离散Riesz空间导数，由此建立了显式和隐式的两种差分格式，得出结论：显式的格式是条件稳定和条件收敛的，而隐式的格式是无条件稳定和无条件收敛的，并且给出数值例子，与行方法的结果进行比较，说明所采用的数值方法的计算有效性，这些方法可进一步应用到一般的分数阶问题.同时进一步讨论了有界区域内含Dirichlet边界的Riesz空间分数阶反应-扩散方程，借助于Riemann-Liouville（R-L）

分数阶导数与Grinwald-Letnikov（G-L）导数之间的等价关系，利用移位的G-L技巧建立显式的差分格式，并且进行了误差估计。

第三章讨论了时间分数阶电报方程，分别考虑了带Dirichlet边界条件，Neu-

mann边界条件，Robin边界条件的三类非齐次时间分数阶电报方程，利用分离变量法得到了这三类方程的解析解。此解由多重Mittag-Lefler函数表示。

第四章讨论了带阻尼项的时间分数阶波动方程，此方程是将经典的带阻尼项的整数阶波动方程中的二阶时间偏导数用Caputo导数来替换得到.建立了一个隐式的差分逼近，用能量方法证明稳定性与收敛性.最后给出一个数值例子说明我们的差分方法是有效的。

第五章对本文的工作做了一个总结。

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