被评为20世纪最伟大的物理定理

诺特定理是理论物理的中心结果之一，它表达了连续对称性和守恒定律的一一对应。诺特定理对于所有基于作用量原理的物理定律都成立。例如，物理定律不随着时间而改变，这表示它们有关于时间的某种对称性。

━━━━

埃米·诺特是20世纪初著名的数学家，她解决了爱因斯坦新发现的引力理论——广义相对论中一个令人困扰的难题。在这个过程中，她证明了一个革命性的定理，为当时所知的物理学提供了一个统一的视角，并为此后几乎所有重大的基本发现奠定了基础。诺特的深刻洞见，彻底地改变了物理学家研究宇宙的方式。爱因斯坦说：“她是数学史上最伟大的女性”。

1915年，作为一个全新的引力理论，广义相对论将引力描述为物质弯曲时空的结果。除了爱因斯坦外，德国哥廷根大学的数学家希尔伯特（David Hilbert）和克莱因（Felix Klein）都沉浸在新理论的奇妙世界中。希尔伯特与爱因斯坦竞争，希望发展出这个复杂理论背后的数学。但希尔伯特和克莱因却遇到了一个难题。他们在试图用广义相对论的框架写一个能量守恒的方程时，遇到了一个无谓的重复：就好比写”0“等于”0”一样，这个方程没有物理意义。这个发现令他们感到惊讶，在这之前并没有一个被接受的理论有这样的能量守恒定律。他们想要弄明白为什么广义相对论会有如此奇异的特征。

诺特发现，这些看似奇怪的守恒定律是一种被称为“广义协变”的特定类型的理论所固有的。在这样的理论中，无论你是稳步前进还是疯狂加速，与理论相关的方程都是成立的，因为理论方程的两边都是同步变化的。其结果是，广义协变理论——包括广义相对论——总是会有这些非传统的守恒定律。这一发现被称为诺特第二定律。

在她证明第二个定理的过程中，诺特证明了她的第一个定理是关于对称性和守恒定律之间的联系。

自诺特在1918年7月26日发表她的定理以来，已经过去了整整一个世纪，但该定理的重要性却一直持续到今天。诺贝尔物理学奖得主Frank Wilczek说：“诺特定理一直是20世纪和21世纪物理学的指路明灯。”

━━━━

1918年，艾米·诺特发表了论文 Invariante Variationsprobleme，她在论文中证明了诺特定理。

诺特定理宣称，每一个对称性都有一个相关的守恒定律，反之亦然。能量守恒与这样一个事实有关，那就是物理规律在时间上的对称性。同样地，动量守恒与物理规律在空间上的对称性。

守恒定律——例如能量守恒定律——说的是一个特定的量必须保持恒定。无论我们如何努力，能量都不能被创造或毁灭。从计算一个球滚下山坡的速度到理解核聚变的过程，能量守恒的确定性可以帮助物理学家解决许多问题。

对称性，如果你对一个物体进行某些操作，在这些操作完成之后，它看起来和之前是一样的，那么这个物体就是对称的。例如，球体是完全对称的：无论你朝哪个方向转动球体，它看起来都是一样的。同样地，对称性也普遍存在于物理学定律中：物理方程在时间或空间的不同位置不会改变。

根据诺特定理，能量守恒来自于时间的平移对称性。比如火箭发射会将燃料中的化学能转化为动能和势能，由于时间的对称性，因此总能量保持不变。同样地，动量守恒源自于空间中的平移对称性。例如，在牛顿摆中，当一个球击中另一个时，另一端的球会向外飞，保持动量守恒。这是为什么？因为空间的对称性。而角动量守恒则是从旋转对称性（即物理规律在空间旋转时保持不变）中出现。一个熟悉的例子是，当一位溜冰者把她的手臂收起时，她的旋转速度会加快。这是因为总的角动量必须保持不变，而这要归功于旋转对称性。

△ 物理规律在时间、空间和旋转上都是对称的。根据诺特定理，这些对称性表明能量、动量和角动量是守恒的。

诺特定理相关的是连续对称性，其中一种连续对称性被称为平移对称（translation symmetry），意思是说物理定律不随空间中的位置而变化，它在这里、哪里、任何地方都是一样的。

20世纪下半叶，诺特定理成为了粒子物理学标准模型的基础。标准模型描述了微观尺度的世界，并预言了希格斯玻色子的存在。今天，物理学家在谱写新理论时，仍然依赖于诺特定理。

在粒子物理学中，相关的对称性是被称为“规范对称”的隐藏类型。物理学家在电磁学中发现了这种对称性，它导致了电荷守恒。

规范对称出现在电压的定义中。电压是两点之间的电势差异。电势本身的实际值并不重要，重要的是差值。这在电势上创造了一种对称性：它的整体值可以在不影响电压的情况下改变。这一特性解释了为什么鸟站在电线上不会触电，但如果它同时接触到两根电势不同的电线，那么，悲剧将立即降临在鸟的身上。

在发现守恒定律的任何地方，物理学家都在寻找对称性，反之亦然。这个标准模型解释了大量的基本粒子以及它们之间的相互作用。许多物理学家都认为标准模型是有史以来最成功的科学理论之一，因为它能够精确地预测实验结果。然而，标准模型并不完美，还有许多问题是它无法解释的。

一直以来，物理学家的目标便是构建一个统一理论，用几个方程就可以描述万物，尽管这已经被证明是非常困难的。这些统一理论是建立在基本对称的假设上。什么样的对称性能够统一基本力中的电弱力（电磁力和弱核力的统一）和强核力，物理学家还不知道。但是寻找这样的一个“大统一理论”是物理学中一个活跃的领域。

一个好的大统一理论能够预言宇宙中的质子和中子从何而来。质子和中子这两种粒子被称为重子，重子的总数应该是守恒的。在实验上，科学家寻找的是质子是否会发生衰变。如果我们观测到质子衰变，那么我们就会知道重子数是否真的守恒，这是大统一理论的关键线索。

但是，当我们寻找超越标准模型的理论时，物理学家发现了一种隐藏的对称，称为超对称，这是许多大统一理论的核心。超对称是建立在统一两组主要的基本粒子的基础上：费米子（比如电子和夸克）和玻色子（比如光子和希格斯玻色子）。它假设所有的费米子都有一个玻色子伙伴，反之亦然。

△ 对称性是标准模型的基础。图中圆圈部分代表了标准模型中的粒子，比如光子和电子。外围则是超对称理论提出的假想粒子。

另外，诺特定理是发展量子引力的潜在理论的必要工具。量子引力理论把两种截然不同的理论——广义相对论和量子力学——结合在一起。诺特的工作帮助科学家理解在这样一个统一的理论中可以出现怎样的对称性。

━━━━

在众多理论中，有一个候选者依赖于两种互补理论间的联系：二维表面的量子理论可以作为三维弯曲时空中量子引力理论的全息投影。这意味着，三维宇宙中包含的信息，可以编码到环绕它的二维表面上。

试想一下，一瓶汽水罐的标签上描述了罐中每个气泡的大小和位置，并列出了这些气泡是如何合并和破裂的。一个好奇的研究人员可以利用罐子表面的行为来了解罐子内部的情况，例如计算摇晃罐子时可能发生的事情。对于物理学家来说，理解一个更简单的二维理论可以帮助他们理解发生在三维物体内部更复杂的情况。（这种全息原理（holographic principle）适用的量子引力理论被称为弦理论，在弦理论中，粒子是通过振动的弦来描述的。）