在单一的四维世界里空间和时间能统一起来的数学尝试，并没有完全消除距离和时间间隔之间的差异，但它们肯定揭示了这两个概念之间的相似性，这点比爱因斯坦以前的物理学中所发现的要清晰很多。
事实上，不同事件之间的空间距离和时间间隔，现在只能视作在空间和时间轴上，这些事件之间的基本四维间隔的推算。这样，这四维坐标轴的转动可能会导致距离和时间间隔的部分相互转换。但是，四维时空轴的旋转是什么意思呢?
图34
让我们首先思考一下，由两个空间坐标构成的坐标系，如图34a所示。
假设我们有两个固定的点，他们之间的距离为L。将这个距离投射到坐标轴上，我们发现这两个点沿第一条轴方向距离为a英尺，沿第二条轴方向距离为b英尺。
如果我们将坐标轴旋转一定的角度（如34b），那么相同的距离在两条新轴上的投影将与之前的不同，获得新的数值a1和b1。
然而，根据勾股定理，两个投影的平方和的平方根在这两种情况下是相同的，因为它对应的是这两个点之间的实际距离，它不会因为坐标系的旋转而发生改变。
因此，我们说平方和的平方根对于坐标的旋转是不变的，而投影的特定值的是偶然的，它取决于你如何选择坐标系。
现在让我们思考一下，一条轴对应距离、另一条轴对应于时间间隔的坐标系。在这种情况下，前一个例子中的两个不动点变成两个固定的事件，两条轴上的投影分别代表它们的空间距离和时间间隔。现在把它们看成上一节讨论过的银行抢劫和飞机失事。
这两个事件，我们可以绘制一幅图(图35a)，这幅图与表示两个空间坐标的图(图34a)非常相似。我们现在要做什么才能使这个坐标轴旋转呢?
答案相当出人意料，甚至令人费解：如果你想让时空坐标轴旋转，那就去坐公交吧。
好吧！假设我们真的在7月28日那个可怕的早晨，坐在一辆开往第五大道的公交车的上层。如果只是距离决定了我们是否可以看到发生了什么，出于利己主义的观点，我们在这种情况下，最关心的问题就被抢劫的银行和飞机失事的地点离我们的公交车有多远。
如果你看一下图35a，在图上公交车的世界线的连续位置，与抢劫和坠机两个事件起显示了出来，你会立刻注意到这些距离与站在街角的交警所记录的不同。
由于公交车沿着大道行驶，比如说每三分钟就经过一个街区(在纽约繁忙的交通中这并不罕见)，从公交车上看，这两个事件之间的空间间隔变得更小了。事实上.因为在早上9点21分时公交车正穿过第52街，此时发生的银行抢劫案就发生在两个街区之外。
当飞机失事时(上午9点36分)，公交车在第47街，也就是距离失事地点14个街区的地方。因此，测量相对于公交车的距离，我们应该得出结论：银行抢劫和飞机失事之间的空间距离是14-2=12个街区，而不是相对于城市建筑来说的50- 34=16个街区。
再次看着图35a，我们看到，从公交车所记录的距离不能像之前那样从纵轴(静止的交警所在的世界线)算起，而应该是从代表公交车的世界线的斜线算起。
因此，刚才所讨论的“一堆琐事”可以总结为：要绘制从移动的车辆上，观察到的事件的时空图，我们必须将时间轴旋转一定的角度(取决于该车辆的速度)，但空间轴保持不变。
这种说法，虽然从经典物理学和所谓的“常识"的观点来看是真理，但却与我们关于四维时空世界的新观念产生直接矛盾。
事实上，如果要把时间看作独立的第四个坐标，时间轴必须始终垂直于三个空间轴，不管我们是坐在公交车上，电车上，还是在人行道上!
在这一点上我们可以遵循两种思维的其中一种。
要么我们就保留我们关于空间和时间的传统思想，放弃对统一的时间——空间几何学的进一步的思考。
要么我们就必须打破被“常识”所禁铜的旧思想。认定在我们的时空图中，空间轴必须随着时间轴旋转，使得这两者永远互相垂直(图35)。
但是，以同样的方式，将时间轴旋转实际意味着从一辆移动的汽车上看，两个事件之间的空间距离会有不同的值(在之前的例子中分别是12和16个街区)：
将空间轴旋转则意味着，从一辆移动的汽车上看两个事件的时间间隔，与从地上一个静止的点处所观察到的这两个事件的时间距离不同。
因此，如果按照市政厅的时钟，银行抢劫和飞机失事相隔15分钟，而公交车上一位乘客戴的手表所录的时间间隔就会不同——这不是因为机械的问题使得两个时钟走得不一样，而是因为时间本身在速度不同的车辆上走的速度就不同，而记录时间的真实机械装置也相应地放缓了。但在公交车这样低的速度下，这种时间的放缓太微不足道了，以致于难以被察觉出来。(本章将更详细地讨论这现象。)
再举一个例子，让我们思考下，一个男人正在移动的火车餐车里吃晚餐。从餐车服务员的角度看，他吃开胃菜和吃甜点是在同一个地方(靠窗边的第三张桌子)。但从位于铁轨上两个静止点上的扳道工的角度(他们从车窗外向里看)，一个刚好看到他在吃开胃菜，而另一个刚好看到他在吃甜点，两个事件的发生相隔了许多英里。
因此我们可以说，一个观察者看到的在同一个地点但在不同时刻发生的两个事件，在处于不同的运动状态下的另一个观察者看来，是发生在不同的地点。
考虑到所需要的时空等量代换，我们将上述句子中的“地点”改为“时刻”，将"时刻”改为“地点”。句子现在将变为：一个观察者看到的，在同一时刻但在两个不同地点发生的两个事件，在处于不同的运动状态下的另一个观察者看来，是发生在不同的时刻。
在应用到我们的餐车例子中，我们会认为，餐车服务员可以发誓说，两名坐在车厢两端的乘客在完全相同的时刻点燃了他们的餐后香烟。一个扳道工仍然站在轨道上，透过车窗从外向里看，当火车经过他时，他会坚持说其中一位先生在另一位先生之前点燃了香烟。
因此：从一个观察员的观点来看，被认为是同时发生的两个事件。从另一个观察员的观点来看，将以一定的时间间隔分开。
这些就是四维几何的必然结果。在四维几何中，空间和时间只是固定不变的四维距离在相应轴上的投影。
内容来源：《从一到无穷大》
文章来源：数学职业家
IEEE Spectrum
《科技纵览》
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