屏幕背后同学们de提问

第一个提出的问题是关于系统线性条件的讨论。一个线性系统的输入输出之间的关系满足线性关系，需要它同时满足齐次性（Homogeneity, Scaling）和叠加性（Superposition, Additive）。这两个性质虽然很简单，很多工科同学往往在此时会产生一个疑问：为什么需要同时满足这两个条件？是否可以将这两个条件合并成一个？

对于这个问题，网络和文献中已经有很多的讨论。可以找到一些反例，说明系统仅仅满足齐次性，但不能够满足叠加性条件；同样，也可以举出只满足叠加性，但不满足齐次性，但往往后面这方面的反例都是指复数信号系统。如果系统的信号仅限于实数域，很多人证明系统的叠加性可以蕴含着系统的齐次性。

比如孟桥在1999年的电气电子教学学报中，论系统的叠加性与齐次性的关系^[1] 文章中就证明对于实信号线性系统中，只需要叠加性即可。

当我在课堂上给大家介绍这个结论的时候，同学立即通过公众号发送过来提问进行质疑：

提问1

叠加性推出齐次性只在有理数范围内成立吧?  叠加性方程在数学上也叫柯西方程，除了线性函数解之外，也存在在有理数域内线性，但在实数域内非线性的解。

回复

柯西函数方程是针对任何一个函数： 满足：

这种函数也称为可加性函数(Addtive function)。在STACKEXHANGE网站的一个帖子中：Overview of basic facts about Cauchy functional equation 中详细讨论满足柯西函数方程条件可以得到满足齐次性的一些条件，比如函数是连续的、局部可积的、可测的、因果信号、单调的等。只要满足这些条件的 一种，或者几种便可以在实数域内得出叠加性蕴含齐次性的结果。

在信号与系统课程中，我们所讨论的信号大体都满足这些条件。比如连续，可测等。因此在数学上存在的那些实数域内非线性的解，往往不是我们在工程上碰到的信号。

关于为什么齐次性无法导出叠加性的讨论，即使所讨论的系统是实数系统，在帖子 Does scaling property imply superposition?^[2] 给出了相对系统的解释。其中提到，作为信号的函数描述，本质上是向量。叠加性描述的是两个向量之间的加法运算；而齐次性是描述的向量与标量之间的乘法运算。实际上这两个运算分属不同的域内的运算，这一点的确会被忽略从而产生误解。

在信号与系统课程中，虽然借用了大量的数学方法来描述信号和系统，但它不是一个数学课，所讨论的对象和关心的问题是在现实世界中存在的实际信号和系统。所以在一些情况下，的确将一些数学上的存在的解进行忽略了。

提问2

回复

证明单位冲激偶信号的抽样性质时，由于这个性质方程左右都是冲激函数，因此需要根据根据“分配函数”定义的方式，就是证明这个等式两边的函数再和任意测试函数（满足在0点连续的函数）的内积，它们作用相同。

先对等是左边

再对等式右边

可以看到上面等式的第二项

上面等式就与第一步的第一项相同。

由此可见，所要证明等式左右的冲激信号对于任意测试函数的内积，所得到的结果是相同的，因此等式成立。

对于冲击偶函数的抽样性质：

的证明，只需要将上面已得到的的公式，两边进行积分。再利用是奇函数的性质，因此积分就剩下第二项，所得到的结果就是。

春季学期信号与系统课程新雅学院的同学

上面的提问，在以前往往是同学在下课后喜欢围着我讨论的一些问题。现在由于网络的阻隔，今天也只能借用公众号推文给他们加以解释了。

参考资料